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1、高三数学应用题练习【南京市】17.（本题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.【常州市第17题】【盐城市】18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药
2、剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).18．解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分则当时,由,解得,所以此时…………………3分当时,由,解得,所
3、以此时………………………5分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天……………6分（Ⅱ）当时,………………………9分==,因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为………12分令,解得,所以的最小值为…14分【镇江市】【无锡市】【苏州市】【徐州市、宿迁市】17．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．………………………………………………4分从而点C处受污染程度．………………………………6分（2）因为，所以，，…………………8分，令，得，…………………12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度
4、的值为8．…………………14分【苏北四市第一次调研】19.（本小题满分16分）如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．图1图219．（1）由题意，得，，又因为在线段
5、CD：上，所以，……………4分由，得，当且仅当，时等号成立.………………………6分令，则，.又，故在上单调递减，（注意：若在上单调递减未证明扣1分）所以，此时，.所以三角形MGK面积的最小值为225平方米.……………………………………10分（2）由题意得，当，解得或（舍去），由（1）知，……………………………………14分即，解之得.所以的范围是．………………………………………………………16分【泰州市】17.⑴由已知第7天的销售价格，销售量.∴第7天的销售收入(元).……………………………………………………（3分）⑵设第天的销售收入为，则.…（6分）当时，.（当且仅当时
6、取等号）∴当时取最大值.………………………………（9分）当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值.…………………………（12分）由于，∴第2天该农户的销售收入最大.…………………………（13分）答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大.…………（14分）【扬州市】18.（本小题满分15分）某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为，通过金属杆支撑在地面处（垂直于水平面），是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面，设金属杆所在直线与圆环所在水平面所成的角都为。（圆环及金属杆均不计粗细）（1）当的正弦值为多少时，金属杆的总长
7、最短？（2）为美观与安全，在圆环上设置个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆的总长最短，对比（1）中点位置，此时点将会上移还是下移，请说明理由。18．解：（Ⅰ）设为圆环的圆心，依题意，∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=，CA1=CA2=CA3=，CO=，设金属杆总长为ym，则=，（），当时，；当时，，∴当时，函数有极小值，也是最小值。……………………………7分（Ⅱ）依题意，=，，当时，；当时，，∴当时，函数有极小值，也是最小值。…………………………………13分当n≥4时，，所以C点应上移。…………………………………15分
