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1、分析数学教案主讲人姜广浩淮北师范大学数学科学学院2010年3月1日57第一章一元函数的极限§1.1利用定义及迫敛性定理求极限设表示实数集合,表示扩张的实数集,即.例1若.证明(算术平均值收敛公式).证明(1)设,由,,,当时,.因此,其中.又存在,当时,.因此当时,.(2)设,则,,当时,.因此,其中.由于,,所以存在,当时,,.因此.(3)当时,证明是类似的.(或令转化为(2)).注例1的逆命题是不成立的.反例为,容易看出57,但是极限不存在.例2设为单调递增数列,.证明若,则．证明由为单调递增数列,当时有.固定
2、,则有,其中.令,则.又由于,所以.令,由迫敛性定理得．注当为单调递减数列时,上述结论也成立.例3设数列收敛,且,证明.(几何平均值收敛公式).证明设,则由极限的不等式性质得.(1)若,则,由例1,.因此(2)若,则.因此,.注可以证明当时结论也成立.例4设,证明:若存在,则也存在且.证明令,,…,,….由例3得,.所以.57例5证明.证明1设,则().由例4得证明2利用司特林(Stirling)公式得例6设,().令.证明.证明.由于数列收敛,故是有界的.设,则.利用例1得.例7设.证明.证明由,,,当时,.所以
3、57,其中.又存在,当时,.故当时,.例8证明.证明令,则.所以.由迫敛性定理得,().所以.例9求极限.解以下不等式是显然的:由例8与迫敛性定理得所求极限为1.例10设是两个定数,且当时.证明.证明由,,,………,相加得.57所以.这推出.例11设,求极限.分析若极限存在且为,则.由此解得.再由知.故.解由得.同理有.一般情况有.所以.例12设,求极限.分析若极限存在且为,则.由此解得.再由知.故57.解令,我们有.由上述递推关系可得,由于,故得.例13设是正数,对任意自然数,令.证明.证明,同理.两式相除得.由
4、归纳法得.由于,得到.所以,这证明了.57§1.2stolz定理及其应用定理1设是趋于零的数列,严格递减趋于零,则当存在或为、时，有.证明设.(1)若是有限实数,则,,当时,有.由于,所以,,………,上述各式相加得.在上式中固定并令,由于,,得.注意到,由上式便得.所以.(2)若,则,,当时,有.仿照(1)中的证法可得,对任意自然数,有,固定并令,得.所以.(3)若,可用代替转化为(2)的情形.57定理2设是任意数列,严格递增趋于,则当存在或为、时，有.证明设.(1)若是有限实数,则,,当时,有.由于,所以,,……
5、…,上述各式相加得.由此便得.所以.由恒等式得由于(),,当时,有.因此当时,.这证明了.57(2)若,则当充分大时,有.由(),可知(),且数列严格递增.注意到,由(1)的结论得.从而.(3)若,可用代替转化为(2)的情形.定理1与定理2统一称为Stolz定理.例1利用Stolz定理.证明(§1例7)：设.证明.证明令,,则严格递增趋于,由定理2,．例2求极限,其中为自然数.解令,,由定理2,.其中倒数第二式中…表示关于的次数为的一个多项式.例3求极限,其中为自然数.解令,,由定理2,.其中倒数第二式分子与分母中
6、的…均表示关于的次数为的多项式.注例3中当不是自然数时,只要(该条件保证),利用定理2,并令57,我们有.再利用求函数极限的罗必塔法则,可以求出最后一式的极限为.例4设.试证:极限存在时,.证明因,而极限存在,故只需证明第一项趋于零.令,,…,,则由条件知,且.于是(应用定理2)57.例5设,.证明.证明由条件.用数学归纳法容易证明对所有自然数有,即.所以数列是严格单调递减有下界的.由单调有界定理,极限存在,设极限值为.在中令得,由此得.由于严格单调递增趋于,根据定理2,.§1.3利用压缩影像原理和单调有界定理求极
7、限压缩影像原理设可导且,是常数.给定,令.证明序列收敛.证明由拉格朗日中值定理，得.其中介于之间.故对任意自然数,（,).由柯西收敛准则收敛.注(1)利用压缩影像原理必须保证是否保持在成立的范围之内.(2)称为压缩映射(因为)．57例1(§1例11)：．设,求极限.解令(),则.又(),故称为压缩映射.由压缩影像原理,收敛.再对递推公式,两边取极限即可.例2(§1例13)：设是正数,对任意自然数,令.证明.证明令(),则.又(),从而有.故称为压缩映射.由压缩影像原理,收敛.再对递推公式,两边取极限即可.例3设…,
8、.求.解容易证明单调递增.现证对任意自然数,.当时显然成立.归纳假设.则.由单调有界定理,有极限.设.对两边取极限得.解得.由于,故得.例4设,当时,.求.解显然.由于与,所以,即单调递减且有下界.故57极限存在,令.由递推关系式得.解得,即.例5设,且对任意自然数,其中.求.解由于,,与故与同号.因此当时有,此时递增有上界;当时有,此时递减有下界.所以收敛
