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1、等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等差数列等比数列定一般地,如果一个数列从第2项起，一般地，如果一个数列从第2项起，每每一项与它的前一项的差等于同一个常一项与它的前一项的比等于同一个常数，那数，那么这个数列就叫做等差数列．这个么这个数列就叫等比数列．这个常数叫公义常数叫公差．比．①an1ana2a1（nN*）①an1a2（nN*）ana1递N*）②an1and（n②an1推q（q0,nN*）关an系③an1ananan1③an1an2,nN*）（n（n2,nN*）anan1通①ana1(n1)d（nN*）①ana1qn1（nN*）项②anpnq（p,q为常数,nN
2、*）②anpqn公式（p,q是常数,q0,p0,nN*）①2Snn(a1an)（nN*）n2(a1an)nN*①求积公式ai(n)求i1和②Snna1n(n1)(nN*)na1,q1d②Sna1(1qn)(nN*)21公1q,q式③SnAn2Bn(A,B是常数,nN*na1,q1)③Sn(nN*，A0)AAqn,q1①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则apaqasar.apaqasar.②对任意c>0,c1,can为等比数列.②对任意c>0,c1,若an恒大于0，则主logcan为等差数列.③an1an12an,nN*,
3、n2.③an1an1an2,nN,n2.④若an、bn分别为两等差数列，则要anbn为等差数列.⑤数列Sn为等差数列.n性⑥若bn为正项等差自然数列，则abn为等差数列.⑦Sn,S2nSn,S3nS2n,为等差数列.质⑧SnSnmSm，n>2m，m、nN*.nn2m⑨SmnSmSnmnd.⑩若SmSn,mn,则Smn0.④若an、bn为两等比数列，则anbn为等比数列.⑤若an恒大于0，则数列n为等比naii1数列.⑥若bn为正项等差自然数列，则ab为n等比数列.⑦Sn,S2nSn,S3nS2n,为等比数列.nnm⑧nain2mai，n>2m，m、i1im1nN*，
4、ap0,pN*.⑨SmnSmqmSnSnqnSm.⑩若a1a2ama1a2an,mn,mn则ai1.i1此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：等差数列等比数列重①若apq,aqp,p、qN*，且①SmnSm(1qmq2mq(n1)m)要pq,=Sn(1qnq2nq(m1)n).结则apq0.②若
5、q
6、<1,则limSnSa1.论Spq,Sqp,且pn1q②若q,则Spq(pq),p、qN*.求数列{an}通项公式的方法1．an1=an+f(n)型累加法：an=（an－an1）+（an1－an2）+⋯+（a2－a1）+a1=f(n
7、1)+f(n2)+⋯+f(1)+a1n例1.已知数列{an}满足a1=1，an1=an+2（n∈N+），求an.[解]an=an－an1+an1－an2+⋯+a2－a1+a1=2n1+2n2+⋯+21+1=12n=2n－112∴an=2n－1（n∈N+）2．an1g(n)型an累乘法：an=an·an1⋯a2·a1an1an2a1例2.已知数列{anan1n（n∈N+），a1=1，}满足an求an.[解]an=an·an1⋯a2·a1an1an2a1=（n－1）·（n－2）⋯1·1=（n－1）！∴an=（n－1）！（n∈N+）3．an1=pan+q型（p、q为常数）
8、方法：（1）an1+q=p(anq)，p1p1再根据等比数列的相关知识求an.（2）an1－an=p(anan1)再用累加法求an.an1anq，先用累加（3）pn1=pn+pn1法求ann再求an.p例3.已知{an}的首项a1=a（a为常数），an=2an1+1（n∈N+，n≥2），求an.[解]设an－λ=2（an1－λ），则λ=－1∴an+1=2（an1+1）∴{an1}为公比为2的等比数列.∴an+1=（a+1）·2n1∴an=（a+1）·2n1－14．an1=pan+f(n)型（p为常数）an1an+f(n)，方法：变形得n1=npn1pp则{anan.n
9、}可用累加法求出，由此求p例4.已知{an}满足a1=2，an1=2an+2n1.求an.an1an[解]2n1=2n+1an∴{2n}为等差数列.an=a1n1n2n2∴an=n·2n5．an2=pan1＋qan型（p、q为常数）特征根法：x2pxq（1）x1x2时，an=C1·x1n+C2·x2n（2）x1x2时，an=（C1+C2·n）·x1n例5.数列{an}中，a1=2，a2=3，且2an=an1+an1（n∈N+，n≥2），求an.[解]an1=2an－an1∴x22x1∴x1x21∴an=（C1+C2·n）·1n=C1+C2·nC1C2
