2014全国高中数学联赛试题(B卷).doc

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1、2014全国高中数学联赛试题（B卷）一、填空题（每小题8分，共64分）1.若函数的图像是由依次连接和的折线，则2.在如下图所示的正方体中，二面角等于（用反三角函数表示）3.对于实数集的任意子集，我们在上定义函数,如果是实数集的两个子集，则的充分必要条件是4.如果三角形的三个内角的余切依次成等差数列，则角的最大值是5.实数列满足条件：，则通项公式。6.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则7.将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52张牌中随机地抽取5张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母）相同的概率是（要求计算出这个概率的数值，精确到

2、0.01）。8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列的前项和组成的数列满足，已知求数列的通项公式。10.（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：11.如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证三条直线和共点。加试一、（40分）如下图：H是三个半径同为的圆的共同交点，A,B,C三点则是另外三个交点。（1）试证明H是三角形A,B,C的垂心；（2）证明三角形A,B

3、,C的外接圆的半径等于R二、（40分）在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，求实数的取值范围，并证明你的结论。三、（50分）给定正整数是非零整数，而且是一个奇数。假定方程有整数解，其中。证明是某个整数的次幂。四、（50分）设是一个边长为的等边三角形，在三角形的内部和边界上任取11个点，（1）证明一定存在两个点，他们之间的距离小于或等于1；（2）证明一定存在两个点，他们之间的距离严格小于1。