南昌大学数学物理方法期末考试试卷2009B卷答案.doc

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1、南昌大学2008～2009学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号：6031(B)卷课程编号：H课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系07各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分454015100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共45分)得分评阅人说明：有两个空的小题，第一个空2分，第二个空

2、1分。1.复数__1＋i,。2.复变函数可导的充分必要条件为u(x,y)，v(x,y)偏导数存在且连续并满足柯西黎曼条件。3.若复变函数在区域B上解析，其实部为，则其虚部为B（备选答案：A.；B.；C.；D.）。4.0。5.根据柯西公式，积分；。第6页共6页6.函数有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。7.闭区域E的内点为某一邻域及其本身均属于E的点；境界点为任一邻域及其本身均部分属于，部分不属于点集E的点。8.

3、双边幂级数为包含负幂项的幂级数，其主要部分为负幂部分，解析部分为正幂部分。9.在原点的邻域上，可展开为，可展开为。10.函数的傅里叶变换为。11.的拉普拉斯变换为。12.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。13.一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。14.偏微分方程的类型为A(备选答案：A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为。

4、15.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）若函数在点解析，则函数在点可导，反之亦然。（×）（2）复通区域上的回路积分不一定为零。同样，单通区域上的回路积分也可以不为零。（√）（3）设为复数，则。（×）第6页共6页二、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分。解：被积函数有两个极点对积分有贡献：单极点，两阶极点。---(2分)留数分别为---(6分)根据留数定理得---(2分)2.用留数定理计算实积分

5、。解：根据留数定理有：在上半平面所有奇点留数之和｝---(2分)所以---(3分)---(3分)---(2分)第6页共6页3.解常微分方程初值问题已知，。(可使用拉普拉斯变换或其它任何方法)。解：对方程拉普拉斯变换并化简得---(5分)解之得---(2分)由拉普拉斯逆变换得---(3分)4.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。解：可分为三种情况讨论：1)，解为，由边界条件只能得到平庸解，显然没有意义。----------------(

6、3分)2)，解为，代入边界条件得，于是为任意常数。----------------(2分)3)，解为,代入边界条件得a)当的取值使得时，必有，这和上两种情况一样没有意义。b)当的取值使得时，不必为零，这种是有意义的情况。此时由得到本征值:第6页共6页综合2）和3）两种情况得本征值此时，本征解为----------------(5分)三、数学物理定解问题(共15分)1.（8分）考查半无限长弦定解问题：，初始条件为，端点处边界条件为。（1）寻找泛定方程的一个特解再作变换使得的边界条件满足；（2）利用的边

7、界条件满足将该问题延拓为达朗贝尔公式定解问题；（3）给出达朗贝尔公式，并求解该问题。解：（1）----------------(2分)（2）作变换后，的定解问题为，，，。根据边界条件，做奇延拓，即假定时，，。----------------(2分)（3）若方程的初始条件为，则其解为，此即达朗贝尔公式。-(2分)根据此公式，容易求得，当时，，当，-(2分)第6页共6页2.矩形区域上的定解问题是否可直接利用分离变数法求解？为什么？然后将之变换为可利用分离变数法求解的问题。（提示：寻找满足泛定方程和边界条

8、件的一个特解再作变换使得的泛定方程以及在方向上的两个边界条件都是齐次的。不要求解关于的定解问题。）(本小题7分)解：不可，因为方程非齐次。-------(3分)设满足方程和边界条件一个特解代入边界得,.于是------(2分)做变换有------(2分)第6页共6页