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1、南昌大学2007～2008学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号：6028(A)卷课程编号：H55020190 课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级物理系06各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分45 40 15 100 得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。一、填空题(每小题3 分，共45 分)得分评阅人20081.复数[(1
2、-i)/(1+i)]=__1,9 =±3,ln(-2 )=ln2 +i (2 n +1 )p。2008p2.ò-2008sinxd(x+)dx =(2 -6 )/ 4 。12-13.复数cos i=(e-e )/ 2 。4.若复变函数f(z )=u(x , y )+iv (x , y )可导，则必须满足柯西-黎曼条件，其数学表达式为：¶u/ ¶x =¶v / ¶y ¶u/ ¶y =-¶v / ¶x 。、5.若复变函数f(z )=u(x , y )+iv (x , y )在区域B上解析，则具有性质：可导，_实部和虚部对应的曲线族正交_，
3、__实部和虚部为B上的调和函数__。2z-z6.函数f (z)=有__1__个极点，为_____1____阶极点，在该极点处的留数为2z-3 z+2 _________2_______________。第1页共7页dz7.设a为常数，则òl 2=0。(z-a)ì0,
4、 n
5、 ¹
6、 m
7、 pï8.设m, n为整数,则ò-p(cosmx×cos nx )dx =íp,
8、 n
9、 =
10、 m
11、 ¹0 。ïî2 p,n =m =0 ì1 (
12、t
13、<1 )9.函数f(t)=í的傅里叶变换为F(w)=sin w/ pw。î0 (
14、t
15、>1 )t
16、 t 10.1 +e的拉普拉斯变换即L(1 +e )=1/ p +1 /(p -1 )。11.数学物理方程定解问题的适定性是指_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。12.一根两端(左端为坐标原点而右端x=l ）固定的弦，用手在离弦左端长为a处把弦朝横向拨开距离b，然后放手任其振动。横向位移u (x ,t )的初始条件为u (x ,0 )=bx / a ,(0 £x £a )和u (x ,0 )=b (l -x )/(l -a ),(a £x £l ); u (x ,0 )=0 .。t13.偏微分方程u-2u-3u-2u+6u+x
17、y-1=0的类型为A(备选答xx xy yy x y 案：A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为x=x-y ,h=3 x +y 。14.勒让德方程的自然边界条件是在x=1和x=-1处有限，本征值是零或正整数。15.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。（1）若函数f (z)在z点可导，则函数f (z)在z点解析。（×）32（2）u-2yu+6xu+u=x y u是二阶线性齐次偏微分方程。（√）xyx y yy z （3）设z为复数，则lim=0（×）z ®¥e
18、 z 二、求解题(每小题10 分，共40 分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。dz1.用留数定理计算复积分。ò22(z+1 )(z-1 )
19、 z
20、 =2第2页共7页1 解：被积函数f (z)=有三个极点：单极点z=±i，两阶极点z =1。22(z+1 )(z-1 )---(2分)留数分别为Resf (i )=lim (z-i )f (z)=1 / 4 z ®i ---(3分)Resf (-i )=lim (z+i )f (z)=1 / 4 z ®-i 和1 d [2]d é1 ù1 Resf (1 )=lim (z
21、-1 )f (z)=lim =----(3分)z ®1(2 -1 )!dzz ®1dzêz2+1 ú2 ëû根据留数定理得1 =2 pi (Resf (i )+Resf (-i )+Resf (2 ))=0 ---(2分)ò22(z+1 )(z-1 )
22、 z
23、 =22 pdx2.用留数定理计算实积分ò。0 5-2 cosx解：2 pdx1 dzò=ò---(3分)05 -2 cosx
24、z
25、=1 5 -2 (z+z-1 )/2 iz=idz---(2分)ò
26、z
27、=1 -5 z+z2 +1 5 -21 =i×2piResf( ) --
28、-(3分)2 2 p=---(2分)21 2dydy-t3.解常微分方程初值问题+3-4y=e, y(0)=y'(0)=0(可使用拉普拉斯变换或其它任2dt dt 何方法)。解：拉普拉斯变换得2p y (p )+3 p
