高二数学导数及其应用复习讲义有答案.doc

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1、高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’

2、。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（

3、x）在点x处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的

4、积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇

5、=y＇

6、·u＇

7、5.单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大

8、值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。高考题型1.导数定义的应用2BCAyx1O34561234例1(北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，_________．解：由图可知，根据导数的定义知．例２(重庆高考)已知函数,其中，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若

9、且，试证：．解：，易知．故，所以解得．2.利用导数研究函数的图像例3（安徽高考）设＜b,函数的图像可能是解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.3.利用导数解决函数的单调性问题例5（全国高考）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．点评：函数在

10、某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．【变式1】（全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，令得或，结合图像知，故．点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．【变式2】（浙江高考）已知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．又，由，得。从而或解得或所以的取值范围是点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意

11、义研究曲线的切线问题例6（江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A．或B．或C．或D．或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选．5.利用导数

12、求函数的极值与最值例7（天津高考）已知函数（），其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．6.利用导数解