高二数学导数及其应用复习讲义有答案

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1、高二数学复习讲义一导数及其应用知识归纳1.导数的概念函数y二f(x),如果自变量x在x()处有增量Aa•，那么函数y相应地有增量Ay=f(x0+A.v)-f(x0),比值空叫做函数y二f(x)在X。Ax到X0+心之间的平均变化率，即Ay=/(x0+ZU)-/(xQ)o如果当心tO时，级有极限，我们就说函数y=f(x)在点x°处可导，并把这个极限叫做f(x)在点X。处的导数，记作f'(x())或y'

2、“曲。即f(x。)二lim型二lim/代+心)7(心)。山toAxztoAx说明：(1)函数f(X)在点X。处可导，是指心TOU寸，生有极限。如果0不存在极限,ArAx就说函数在点X。处不可导

3、，或说无导数。(2)心是自变量x在X。处的改变量，AxhO时，而△)；是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y二f(x)在点x0处的导数的步骤：(1)求函数的增量Ay二f(x0+Ax)—f(x0)；(2)求平均变化率冬二+空)_于(兀0)；ArAr(3)取极限，得导数f'(x0)=lim^-oAmo心2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x°处的导数的几何意义是曲线y二f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)o相应地，切线方程为y—y0=f/(x0)(x—x0)o3.几种常见函数的导数

4、；①CZ=O;②(打=十；③(sinx)'=cosx;④(cosx)z=-sinx;⑤(exy=ex;®(axy=a"Ina;⑦(In；⑧(logaxf=-logae.JCX4.两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，艮卩：(《±u)=u±v.法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：・■I(MV)=WV+UV・若C为常数，(Cu)=Cu+Cu=Q+Cu=Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)=Cu法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分

5、母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：化］7"：川3丿V(vh0)。形如y=f［^(x)］的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。法则：yzI%=y'1(/•『丨x5•单调区间：一般地，设函数y=/(x)在某个区间可导，如果/'(x)>0,则/(无)为增函数；如果/'(x)<0,则/(兀)为减函数；如果在某区间内恒有/'(x)=0,则/(兀)为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7.最值:一般地，在区间［a,b］上连续的函数f(劝在［

6、a,b］上必有最大值与最小值。①求函数/(兀)在(a,b)内的极值；②求函数/(兀)在区间端点的值/(a)、/(b)；①将函数/⑴的各极值与/(a)、/(b)比较，其屮最大的是最大值，其屮最小的是最小值。高考题型1.导数定义的应用例1（北京高考）如图，函数/（X）的图彖是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0,4）,（2,0）,（6,4）,解：y=(兀一a)(3x-2a-b),由y=0得2a+b3・■•当兀=a时,y取极大值0,2a+b3时y取极小值且极小值为负.故选C・或当xvbH寸yvO,当无〉〃时,M+g⑴心toAx解：由图可知/（x）=y>0选C.点评:通过导数研究函数图像

7、的变化规律，也是考试的热点题型.3.利用导数解决函数的单调性问题例5（全国高考）已知函数f（x）=X3+OX1+兀+1,GWR•据导数的定义知阮川+*川）山toAx（I）讨论函数/（兀）的单调区间；（II）设函数/（X）在区间-兰,-丄内是减函33丿-a-^la2-33-a+la2-33-a+Ja2-33、,+oo递增。（21（2）因为函数/（兀）在区间-兰,-丄内是减I33丿例2（重庆高考）已知函数/（x）=（F+,其中f,（I）略,（II）若応4（c-l）,且lim旦止亠4,试兀一>0xilE：-6

8、=lim血血=广(O)十c,xtOX"TOx-0（b+c=4.：'、解得-65b52.^2<4（c-1）,2.利用导数研究函数的图像例3（安徽高考）设a0,/(x)在R上递增；当/>3,fx)=0求得两根为-a土Jo1-3X=,3-a-yla2-33―丫21