解析几何范围最值问题(教师)详解.doc

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1、第十一讲解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.一、几何法求最值【例1】抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足+=(-4,-12).(1)求直线l

2、和抛物线的方程;(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时,求△ABP面积的最大值.[满分解答] (1)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2,抛物线方程为x2=-2py(p>0).由得x2+2pkx-4p=0设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.所以+=(-4,-12),所以解得故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x2=-2y.(2)设P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点P的切线与l平行时,△ABP的面积最大.对y=-x

3、2求导,得y′=-x,所以-x0=2,即x0=-2,y0=-x=-2,即P(-2,-2).此时点P到直线l的距离d===.由得x2+4x-4=0,则x1+x2=-4,x1x2=-4,

4、AB

5、=·=·=4.于是,△ABP面积的最大值为×4×=8.二、函数法求最值【示例】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同

6、的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.(1)由e===,得a=b,椭圆C:+=1,即x2+3y2=3b2,6设P(x,y)为C上任意一点,则

7、PQ

8、==,-b≤y≤b.若b<1,则-b>-1,当y=-b时,

9、PQ

10、max==3,又b>0,得b=1(舍去),若b≥1,则-b≤-1,当y=-1时,

11、PQ

12、max==3,得b=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)法一 假设存在这样的点M(m,n)满足题意,则有+n2=1,即n2=1-,-≤m≤.由

13、题意可得S△AOB=

14、OA

15、·

16、OB

17、sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=90°时取等号,这时△AOB为等腰直角三角形,此时圆心(0,0)到直线mx+ny=1的距离为,则=,得m2+n2=2,又+n2=1,解得m2=,n2=,即存点M的坐标为,,,满足题意,且△AOB的最大面积为.(12分)法二 假设存在这样的点M(m,n)满足题意,则有+n2=1,即n2=1-,-≤m≤,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),由,消去y得(m2+n2)x2-2mx+1-n2=0,①把n2=1-代入①整理得(3+

18、2m2)x2-6mx+m2=0,则Δ=8m2(3-m2)≥0,∴②而S△AOB=

19、OA

20、·

21、OB

22、sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=90°,S△AOB取得最大值,此时·=x1x2+y1y2=0,又y1y2=·=,∴x1x2+=0,即3-3m(x1+x2)+(3+2m2)·x1x2=0,把②代入上式整理得2m4-9m2+9=0,解得m2=或m2=3(舍去),6∴m=±,n=±=±,∴M点的坐标为,,,,使得S△AOB取得最大值.老师叮咛:当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时,我们常常先建立对

23、应的函数关系式,然后利用函数方法求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一种最重要的方法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时,除了重视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围,这些限制范围恰好制约了最值的取得,因此在解题时要予以高度关注.                   三.定义法求最值在求解有关圆锥曲线的最值问题时,通常是利用函数的观点,建立函数表达式进行求解。但是,一味的强调函数观点,有时会使思维陷入僵局。这时

24、,若能考虑用圆锥曲线的定义来求解,问题就显得特别的简单。例1、如图,M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点,若点M到点C(3,1)与点B的距离之和为S,则S的取值范围是()A、B、C、D、分析:此题的得分率很低,用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义,则势如破竹。解法如下:连结MA,由双曲线的第一定义可得:当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止,未免太可惜了!于是笔者进一步引导学生作

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