解析几何最值或范围问题反思.docx

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1、解析几何的范围问题或最值问题反思问题1．已知A、B是椭圆上的动点，若OA⊥OB时，求的取值范围．分析：该问题有两个思路，一个是引入直线OA的斜率参数求解，另一个是引入参数表达动直线AB进而求解．略解1：当直线的斜率为零或不存在时，可得．当直线OA的斜率为()时，即直线OA、OB的方程分别为、．点A的坐标()满足：，可得，同理可得，所以．可令，，∵∴可求．略解2：当直线AB的斜率不存在时，可求得当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为，所以点A、B的坐标()、()满足：消去可得：(*)由韦达定理有，∵OA⊥OB等价于，可得．方程的(*)两根，

2、其中∴(注意到)可令，则，∴．说明：无论是求弦长、面积等的最大(小)值或取值范围，解析几何中基本上都是建立目标函数，把最值或范围问题转化为函数的值域问题，最一般又是通过求导来解决．法1中相当于求函数的值域；法2中相当于求函数的值域，这样求导当然可以解决，而且由不难类似得到△AOB的面积，∴。所以在解析几何中，如果我们注意到题目的特殊性，通过恰当的“配凑”，再经过比较高端的换元也可以如上求解．我发现在解析几何中多数的最值或值域问题都能通过上面类似的处理从而获得解决。问题2．已知椭圆C:，若直线:与圆O:相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当=，

3、且满足时，求△AOB面积S的取值范围．分析：该问题应该用或或表达△AOB的面积来求解，直线与圆相切，实质是和的一个等式，利用此等式可消元，而=实质是、、的一个等式，又可消一个元．略解：因直线:即与圆O:相切，所以得．因点A、B的坐标()、()满足：消去可得：(*)由韦达定理有，∵=．方程的(*)两根，其中∵=∈[，]．说明：在解析几何中传统求弦长用所谓的“联立方程求焦点，韦达定理求弦长”，即用，但在学生的实际运算中，由于和是分式结构且通常因含参数而较复杂，很多同学不能正确求出的表达式，所以在教学中我一般是遵循“联立方程求焦点，求根公式求弦长”，

4、即改进为；在直角坐标系下已知△ABC三顶点的坐标，设=()，=()，则△ABC的面积为，利用该结论算三角形的面积比传统的二分之一底乘高更好，所以在解析几何中求三角形ABC的面积也可以不求和对应的高，而用向量数量积推导的上面结论来解决求三角形的面积或三角形的面积最值或三角形面积的范围问题．