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《解析几何范围最值问题(教师).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十一讲解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.一、几何法求最值【例1】抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点
2、P从点A运动到点B时，求△ABP面积的最大值．[满分解答] (1)根据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由得x2＋2pkx－4p＝0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.所以＋＝(－4，－12)，所以解得故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线方程为x2＝－2y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大．对y＝－x2求导，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－x＝－2，即P(
3、－2，－2)．此时点P到直线l的距离d＝＝＝.由得x2＋4x－4＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，
4、AB
5、＝·＝·＝4.于是，△ABP面积的最大值为×4×＝8.二、函数法求最值【示例】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．(1)由e
6、＝＝＝，得a＝b，椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，6设P(x，y)为C上任意一点，则
7、PQ
8、＝＝，－b≤y≤b.若b＜1，则－b＞－1，当y＝－b时，
9、PQ
10、max＝＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)，若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，
11、PQ
12、max＝＝3，得b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)法一 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝
13、OA
14、·
15、OB
16、sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直
17、线mx＋ny＝1的距离为，则＝，得m2＋n2＝2，又＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，即存点M的坐标为，，，满足题意，且△AOB的最大面积为.(12分)法二 假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，则Δ＝8m2(3－m2)≥0，∴②而S△AOB＝
18、OA
19、·
20、OB
21、sin∠AOB＝sin∠AOB，当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，此时·＝x1x2＋
22、y1y2＝0，又y1y2＝·＝，∴x1x2＋＝0，即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，6∴m＝±，n＝±＝±，∴M点的坐标为，，，，使得S△AOB取得最大值.老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意
23、所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注． 三.定义法求最值在求解有关圆锥曲线的最值问题时,通常是利用函数的观点,建立函数表达式进行求解。但是,一味的强调函数观点,有时会使思维陷入僵局。这时,若能考虑用圆锥曲线的定义来求解,问题就显得特别的简单。例1、如图，M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（）A、B、C、D、分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势
24、如破竹。解法如下：连结MA，由双曲线的第一定义可得：当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作
