南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题7：导数及其应用.doc

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1、专题7：导数及其应用问题归类篇类型一：切线方程一、前测回顾1．曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为．答案：y＝3x＋2．解析：y′＝3x，则切线的斜率是3×(－1)，再利用点斜式．2．曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为．答案：y＝2x或y＝－x．解析：y′＝3x－6x＋2，设切点为（x，x3－3x2＋2x），则切线的斜率为3x－6x＋2．切线方程为y－(x3－3x2＋2x)＝(3x－6x＋2)(x－x)，（0，0）代入，得x的值，从而得到切线方程．二、方法联想涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线

2、；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意：(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．三、归类巩固*1．若曲线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为.(已知切线方程求参数值)答案：ln2－1，**2．曲线y＝－(x＜0)与曲线y＝lnx公切线（切线相同）的条数为.（求两曲线的公切线条数）答案：1***3．在平面直角坐标系xOy中，直线与曲线y＝x(x＞0)和y＝x(x＞0)均相

3、切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2),则的值是（已知两曲线的公共切线，求切点）答案．解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x12，函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3x22x－2x23．所以，解之得：x1＝，x2＝．第29页共29页所以＝．**4．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．(已知公切线，求参数的值)答案：－或－1．解析：设曲线y＝x3的切点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，切线过点(1，0)，所以－x＝3x

4、(1－x0)，所以x0＝0或x0＝，则切线为y＝0或y＝x－，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，则ax2＋x－9＝0，所以a≠0且△＝0；由或y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，则ax2＋x－9＝x－，所以a≠0且△＝0。解得a的值为－或－1．**5．函数f(x)＝alnx－bx2上一点P(2，f(2))处的切线方程为y＝－3x＋2ln2＋2，求a，b的值（已知切线方程求参数）答案：a＝2，b＝1，***6．已知函数f(x)＝2x3－3x，若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求的取值范围（已知公切线条数，研究参数的范围

5、）答案：t∈(－3，－1)解：设切点坐标(x0，y0)，切线斜率为，则有切线方程为：y－(2x－3x0)＝(6x－3)(x－x0)因为切线过P(1，t)，所以将P(1，t)代入直线方程可得：t－(2x－3x0)＝(6x－3)(1－x0)Þt＝(6x－3)(1－x0)＋(2x－3x0)＝6x－3－6x＋3x0＋2x－3x0＝－4x＋6x－3所以问题等价于方程t＝－4x＋6x－3，令g(x)＝－4x3＋6x2－3即直线y＝t与g(x)＝－4x3＋6x2－3有三个不同交点g'(x)＝－12x2＋12x＝－12x(x－1)令g'(x)＞0解得

6、0＜x＜1所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)单调递减，在(0，1)单调递增g(x)＝g(1)＝－1，g(x)＝g(0)＝－3第29页共29页所以若有三个交点，则t∈(－3，－1)所以当t∈(－3，－1)时，过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切．类型二利用导数研究函数的单调性问题:一、前测回顾1.函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为．答案：(0，)．解析：定义域为（0，＋∞）；求导，f′(x)＝4x－，令f′(x)＜0，得x∈(0，)2．函数f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为．

7、答案：a≤．解析：f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝x－2ax≥0对x∈(3，＋∞)恒成立∴2a≤x，∴2a≤3，则实数a的取值范围为a≤．3.已知函数f(x)＝lnx－x－，a∈R，求函数f(x)的单调区间.解析：f′(x)＝－1＋＝.令f′(x)＝0，得－x2＋x＋a＝0，记Δ＝1＋4a.(i)当a≤－时，f′(x)≤0，∴f(x)单调减区间为(0，＋∞)；(ii)当a>－时，由f′(x)＝0得x1＝，x2＝，①若－x2>0，由f′(x)<0，得0x1；由f′(x)

8、>0，得x20，则x1>0>x2，由f′(x)