文科数学专题导数及其应用

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1、专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲　导数及其应用考点整合导数的概念及运算考纲点击1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数．基础梳理一、导数的概念及运算1．导数的定义(1)f(x)在x＝x0处的导数为：＝f′(x0)＝________＝________.(2)f(x)在定义域内的导数(导函数)f′(x)＝y′＝________＝________.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点________处的切线的______

2、__(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．2．(x0，f(x0))斜率答案：考纲点击求基本初等函数的导数1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．掌握常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式．基础梳理二、基本初等函数的导数公式和运算法则1．基本初等函数的导数公式函数导数①f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝________②f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝________③f(x)＝sinxf′(x)＝________④f(x)＝cosxf′(x)＝________⑤f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)

3、f′(x)＝________⑥f(x)＝exf′(x)＝________⑦f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________⑧f(x)＝lnxf′(x)＝________2.导数的四则运算法则(1)[u(x)±v(x)]′＝__________________；(2)[u(x)v(x)]′＝____________________；(3)[]′＝________________(v(x)≠0)．3．复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y′x＝________.答案：整合训练2．(1

4、)(2010年山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)(2)求下列函数的导数：①y＝(2x2－1)(3x＋1)；②y＝x2sinx.答案：(1)D(2)①y′＝18x2＋4x－3，②y′＝2xsinx＋x2cosx考纲点击导数的应用1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了

5、解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些实际问题．基础梳理三、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导数的正负值有如下关系：在某个区间(a，b)内(1)如果________函数f(x)在这个区间内单调递增．(2)如果_________函数f(x)在这个区间内单调递减．(3)如果________f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数y＝f

6、(x)．(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，称x＝a为f(x)的极小值点；______叫函数f(x)的极小值．(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近在左侧________，右侧________，称x＝b为f(x)的极大值点，______叫函数f(x)的极大值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______

7、，最小的一个是______．答案：1.(1)f′(x)＞0(2)f′(x)＜0(3)f′(x)＝02.(1)f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)(2)f′(x)＞0f′(x)＜0f(b)3.(1)极值(2)最大值　最小值、整合训练答案：(1)B(2)C(2)(2010年山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件高分突破利用导数解决曲线的切线问题已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R

8、.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函