正态分布性质研究.doc

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1、正态分布性质正态分布定义：若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为F(x)=1σ2πexp（-（x-μ）22σ2）则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。正态分布可以写成自然指数分布族分布形式F(x；?)=1σ2πexp（-（x-μ）22σ2）=1σ2πexp（xμσ2-μ22σ2-x22σ2）=1σ2πexp（-x22σ2）exp（μσ2x-μ22σ2）其中θ=μσ2，φ（?）=μ22σ2，h（x）=1σ2πexp（-x22σ2）则正态分布族属于自然指数分布族。正态分布数字特征（1）正态

2、分布的期望：E（X）=-∞+∞X*1σ2πexp（-（x-μ）22σ2）dx=12π-∞+∞（μ+σt）e-t22dt=μ12π-∞+∞e-t22dt+σ2π-∞+∞te-t22dt=μ(2)D(X)=-∞+∞(x-μ)2f(x)dx=-∞+∞(x-μ)2f(x)dx=-∞+∞(x-μ)2*1σ2πexp（-（x-μ）22σ2）dx令x-μσ=t,得D(X)=σ22π-∞+∞t2e-t22dt=σ22π（[-te-t22）]-∞+∞+-∞+∞e-t22dt)=0+σ22π2π=σ2正态分布的图形性质（1）σ变换：正态分布有两个参数，即均值μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均值μ决定

3、正态曲线的中心位置，标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若μ固定，而改变σ的值，则当x=μ时，f（x）=1σ2π。由此可知，σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。f（x）OμX（2）μ变换：为了便于描述和应用，常将正态变量做数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x=μ为对称轴，左右完全对称。当σ恒定后，而改变μ的值，则f（x）的图形沿x平行移动，但不改变其形状。μ越大，则曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降（3）曲线y=f（x）在

4、x=μ+σ处有拐点且曲线y=f（x）以OX轴为渐近线，无限逼近。（1）在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积始终为1。3σ原则：P（μ-σ

5、机变量x~N（μ，σ2），当b≠0时有Y=a+bx~N(a+bμ,b2σ2)证明：令Z=Y-（a+bμ）

6、b

7、σ当b>0时，Z=a+bx-(a+bμ)bσ=x-μσ故Z~N(0，1),从而Y~N(a+bμ,b2σ2)当b<0时，Z=a+bx-(a+bμ)-bσ=-(x-μσ)根据性质（1），因为x-μσ~N(0，1)，所以Z~N(0，1)则Y~N(a+bμ,b2σ2)综上Y=a+bx~N(a+bμ,b2σ2)（3）X~N（μ1，,σ12），Y~N(μ2，,σ22),且X与Y相互独立，则Z=X+Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)证明：X+Y=σ2(X-μ1σ2+Y-μ2σ2)+μ1

8、+μ2X~N(μ,σ2)则Y=aX+b~N(b+aμ,a2σ2)由此可推出X-μ1σ2~N(0，σ12σ22),Y-μ2σ2~N(0，1)所以X-μ1σ2+Y-μ2σ2~N(0，1+σ12σ22)X+Y~N[σ2*0+μ1+μ2,σ22(1+σ12σ22)]=N(μ1+μ2,σ12+σ22)标准正态分布，图形性质的集中性均匀变动性等