《高观点下中学数学——分析学》练习题答案.doc

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1、《高观点下中学数学——分析学》练习题一参考答案一、填空题1.，2.，3.满射，4.代数数，5.，6.下凸7.传递的；8.双射；9.；10.1）;11.1），12.。13.；14、甲}，{乙}，{甲，乙}}；15、单射；16、未知函数；17、；18、上凸;19.传递性；20.；21.可导；22.；23.；24.（其中为常数）.25．；26.；27.有；28.收敛的子列；29.；30..二、单项选择题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.C；8.C；9.D；10.B；11.D；12.A13.D;14.B;15.C;16.C;17.D;18.A

2、;19.C;20.B;21.A;22.B;23.D;24.A;25D；27B；27.A；28.C；29.D；30.A三、计算题1解，2分，7分故8分2设，则，3分代入得8分3．解3分令，得，易验证是极大值点，是极小值点，6分极大值，极小值8分4.解显然，且，即数列，单调增加且有上界，故存在，设，由可得，5分即，解得5.解首先计算过点的切线的斜率4分所求的切线方程为即8分6.解已知（1）将代替，得（2）4分得8分7.解已知在内，是上凸函数，由上凸函数的定义有5分即而且当时，，故是的最小值。8分8.解设，则3分因，故9.解因为,故有5分所以有8

3、分10.解由方程可得，，由得，即8分11.解已知，对两端关于求导，得4分由8分12.解已知（1）令，即，得（2）（2）得6分即，13.解方程两边对求导，求出，即3分5分于是，切线方程为或8分14.解由已知4分8分15.解由有8分16.解因为在内是上凸函数，所以由上凸函数的定义有即有.6分当取时，，故是函数的最小值.17．解则，=所以=0该结果的几何意义是平行四边形的对角线的平方之和等于四条边长的平方之和。18．解已知,故19．解令，求的最小值3分=，故单调增加5分7分当时，，故单调增加8分20．解设，则2分从而有面积3分令5分得，，即时，为

4、最小值且四、证明题1.证明：（1）若设表示的补集，则有4分（2）8分2.证明：，有，故，即是的一个上界.，使得，即存在，使得故8分3.证明：设，则，即是严格下凸，根据有8分4.证明：令，则是上的连续函数.若，则选取结论得证.若，则选取结论得证.4分否则有，则，由介值定理，存在，使得，即.8分5.证明（1）因是满射，即,进一步有，故是满射。4分（2）采用反证法。假设不是满射，即，则存在，但。设，使，由于是单射，故，即，这与是满射矛盾。说明假设矛盾，即是满射。8分6.证明，因为在点连续，故存在，当时，有由绝对值不等式的4分故对任意的，，当时，有

5、即在点连续。8分7.证明：设，则是上的连续函数，且由介值定理，至少存在一点，使。4分由得，当时，。即在内严格单调增加。故有且仅有一点，使，即方程在内有且仅有一实根。8分8.证明采用反证法。假设是周期函数，因是连续函数且不是常值，故具有最小正周期，设为。选取自然数，使得。故存在使4分另一方面，对于，有这与式矛盾。故不是周期函数。8分9.证明：对于，有令，则得，6分由的任意性知，。8分10.证明：用表示的补集，则（1）==4分（1）==8分11.已知在上连续，故在有最大值与最小值，从而有4分由介值定理，存在，使8分12．设，对于，我们有，即在内

6、是严格下凸函数，故对于有6分代入得8分13.证明先证是单射.假设不是单射，则存在，使得，但.根据已知条件有与假设矛盾，故是单射.4分再证是满射.一方面，另一方面，由有即，故是满射.（证毕）8分14.证明：因，对于，，当时，有，即4分因是上的连续函数，故存在，使得当时，选取，从而有对于，有，所以在上有界.（证毕）8分15.证明：“充分性”当，时，，即.4分“必要性”反证法，假设，不妨设，则次代数方程至多有个实根.另一方面，由于在区间内相等，即对于，有，这表明它有无穷多个实根，这与它至多有个实根矛盾.故.若但，因至多有个实根；另一方面，由，对任

7、意的，有，即有无穷多是的实根，这与它至多有个实根矛盾.（证毕）8分16.证明：设，，，则且对于，有，显然有，即6分由教材中定理知，当时，，即有17．证明：设,由于是等价关系，故2分从而有使得，进而有，即6分此即表明，同理有故8分18．证明：设2分是区间的连续函数，，故至少存在一点使5分即在内严格单调增加，故只有唯一的使8分19.证明：设，显然有6分当时，显然有，故当时，8分20.证明：设是三角形的三个内角，故2分根据在内是上凸函数，故有6分即《高观点下中学数学——分析学》练习题二参考答案一、填空题1.2.3.有4.中存在有限个开区间也覆盖了

8、闭区间5.6.07．反身的、对称的、传递的。8.，使得，9．10.11．212.，有(或者:中任意两点的连线在中)。13．等价关系14．，使得15．16．17．线性18．二、单项