正余弦定理的应用举例

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1、正余弦定理的应用举例正、余弦定理的应用举例（1）知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术

2、语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条、未知条及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决典例剖析题型一距离问题例1如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题例2、在某点B处测得建筑物AE的

3、顶端A的仰角为，沿BE方向前进30，至点处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AD中，A=B=30，AD=D=10，AD=180-4，=。sin4=2sin2s2s2=,得2=30=1，在RtADE中，AE=ADsin60=1答：所求角为1，建筑物高度为1解法二：（设方程求解）设DE=x，AE=h在RtAE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=,h=1在RtAE中,tan2==2=30,=1答：所求角为1，建筑物高度为1解法三

4、：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得BA=，AD=2，A=B=30,AD=D=10在RtAE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②②①得s2=,2=30,=1，AE=ADsin60=1答：所求角为1，建筑物高度为1评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出。备选题角度问题例3．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救求舰艇的航向和靠

5、近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，由余弦定理，得，即化简，得，解得（负值舍去）由正弦定理，得，所以，方位角为答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮评析：本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用解本题的关键是根据实际，找出等量关系，在画示意图时，要注意方向角的画法。点击双基一选择题：1．在△AB中，下列各式正确的是（）Aab＝sinBsinABasin＝sinBasin(A＋B)＝sinAD2＝a2＋b2－2abs(A＋B)解：根据正弦定理得,又sin=sin(A+B),asin(A＋B)＝

6、sinA答案：2．海上有A、B两个小岛相距10nile，从A岛望B岛和岛成60°的视角，从B岛望A岛和岛成7°角的视角，则B、间的距离是（）A2nileB103nile1036nileD6nile解：根据题意知：AB=10，A=60°,B=7°则=4°,a===6答案：D3．在200米高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A米B米200米D200米　解：如图，设塔高AB为h，　　Rt△DB中，D＝200，∠BD＝90°-60°＝30°　　　　在△AB中，∠AB＝∠BD＝30°，∠AB＝60°-30°＝30°　　∴　∠BA

7、＝120°　　∴　　　∴　（）答案：A　　4．某人以时速a向东行走，此时正刮着时速a的南风，那么此人感到的风向为，风速为答案：东南2a．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后船沿南偏东60°的方向航行30nile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是解：103后作业1．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）A13°B120°60°D90°解：根据三角形中大边对大角，可知a2＋ab＋b2所对的角为最大角，设为，则s==-,120°答案：B2．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A、a、

8、bB、β、aa、b、γDα、β、γ解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、γ，