利用三边关系--确定线段和差最值.doc

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1、利用三边关系确定线段和差最值我们经常会遇到这样的题目，如图，点A、B在直线L的同侧，试在直线L上取一点M，使MA+MB的值最小。ABCDML解：作点A关于直线L的对称点C，连接B、C，与直线L交于点M，则M就是我们所求的点。在L上任取一点D，连接CD、AD，∵点A、C关于直线L对称∴CD=ADMC=MA∴AD+DB=DC+DBMA+MB=MC+MB在△CDB中，CD+DB＞CB即AD+DB＞MC+MB∴AD+DB＞MA+MB∴点M就是我们所求的点。那如果在直线L上取一点N，使到点N到点A、B距离差最大，又如何确定呢？ABCNL解：作直线AB、

2、交直线L于点N，则点N就是我们所求的点。在直线上任取一点C，连接CA、CB∵在△ABC中，CA-CB＜AB而NA-NB=AB∴点N就是我们所求的点这两题都是将MA、MB；NA、NB转化到同一直线上，利用三角形的三边关系，从而确定MA+MB有最小值，NA-NB有最大值。下面利用这些结论解决几个问题。OABCDxyM例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2㎝，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-）。在抛物线的对称轴上求点M，使得点M到点D、点A的距离之差最大，求出点M

3、的坐标。解：∵四边形OABC是正方形∴A坐标为（0，-2），B坐标为（2，-2）将A、B、D坐标分别代入y=ax²+bx+c得，a=,b=-,c=-2∴y=x²-x-2对称轴为直线x=1∵点A和点B关于直线x=1对称∴使得点M到点D、点A的距离之差最大，就是使得点M到点D、点B的距离之差最大过点B、D作直线BD与直线x=1的交点就是所求的点M设直线BD为y=kx+b将B、D坐标代入得k=b=-∴直线BD为y=x-将x=1代入得y=-∴点M的坐标为（1，-）AOMBCDEPyx例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+x+3交y轴于点A

4、，矩形OABC，OC=5，边AB交抛物线于点E，边BC交抛物线于D，沿OD翻折，点C刚好落在E处，点M是抛物线的顶点，点P是线段OD上的一个动点，点P运动到何处时，点P到点M的距离PM与点P到点E的距离之和最小？求出点P的坐标。解：由定点坐标公式求得M坐标为（2，）∵沿OD翻折，点C刚好落在E处∴点C点E关于OD对称连接CM，与OD的交点就是所求的点P将x=5代入y=-x²+x+3得y=∴D坐标为（5，）设直线OD为y=kx，将D坐标代入得k=∴y=x设直线CM为y=kx+b，将M、C坐标代入得k=-b=∴y=-x+将两个函数关系式组成方程组

5、可得x=y=∴点P坐标为（，）