台州学院20 16 学年第 1 学期.doc

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1、台州学院2016学年第1学期2014级数学与应用数学专业《高等代数选讲》期末考试题题号一二三四五六七八总分分值1010201010201010100一.（10分）计算n阶行列式,其中.二.（10分）设为数域上不全为零的多项式，(1)证明.(2)若，证明，以及.三.（20分）设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的基础解系，证明（1）线性无关。（2）的任意解都可以由线性表出，且系数之和为1.四.（10分）设都是矩阵，证明.五.（10分）设，其中，，求的维数和一组基。六.（20分）设是维线性空间上的线性变换，Im和Ker分

2、别表示其像空间和核空间，证明(1)Im是-子空间.(2)的充要条件是.七.（10分）设是一个的实矩阵，证明对于任意一个实数，矩阵是正定矩阵.八.（10分）（1）叙述并证明Cramer法则.（2）请写出一个实矩阵为正交矩阵的三个充要条件.《高等代数选讲》期末考试参考答案2017.01.011一.（10分）解：(4分)（5分）类似地，所以(7分）.当时，解之得.当时，.(10分)二.（10分）证明：(1)设，由于由于，所以.另一方面，由于，同理由于.考虑到均为首系数为1的多项式得，即（5分）(2)若，则存在多项式使得，所以，

3、得(7分).由以上证明可知，于是，两式相乘得.再利用(2)的第一步证明有.(10分)三.（20分）证明：(1)设(2分)，则(*).(5分)若则可由线性表出，考虑到是导出组的基础解系，得是导出组的解，与条件矛盾，所以=0，(7分)带入(*)式：，由于是导出组的基础解系，所以，从而线性无关(10分).(2)由线性方程组解的结构可知，的任一个解都可以表成其一个特解和导出组的基础解系的线性组合，即，(6分)这样本式的系数之和为1.(10分)四.（10分）证明：由于，(2分)且，（7分）本式中的分块初等矩阵都是可逆的，所以.(1

4、0分)五.（10分）解：由于，(2分)且.（5分）由上式可知，为其一组基.(7分)再由维数定理得.由上述矩阵变换式得为后者的一组基.（10分）六.（20分）设是维线性空间上的线性变换，Im和Ker分别表示其像空间和核空间，证明(1)Im是-子空间.(2)的充要条件是.证明：(1)首先像空间Im是V的子空间.（3分）对于，(7分)即，所以Im是-子空间.(10分)(2)必要性.设，由于，所以要证明，只需证明即可.（2分）,则一方面由于可知，另一方面，由于，所以，考虑到，由可知，得.(5分)充分性.设，则.（6分）.另一方面

5、，，由得，所以，，.综上得.（10分）七.（10分）设是一个的实矩阵，证明对于任意一个实数，矩阵是正定矩阵.证明：首先矩阵是对称矩阵，(2分)其次对任意的，，（4分）由于实数，，所以>0,（6分）又为实矩阵，所以为实向量，所以，（8分）于是，所以矩阵是正定矩阵.（10分）八.（10分）答：（1）Cramer法则：如果具有n个未知量n个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则该方程组有解且有唯一解，.其中是用方程组的常数列替换A的第i列得到的矩阵的行列式的值，.(3分)证明：因为，所以可逆，于是方程组有解，由于逆矩阵的唯一性

6、可知解是唯一的.下面求解：考虑到，所以,,即.(5分)（2）一个n阶实矩阵为正交矩阵（2分）是标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是欧氏空间的正交变换在标准正交基下的矩阵.(5分)