初三数学圆知识精讲 首师大版.doc

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1、初三数学圆知识精讲一.本周教学内容：圆1.圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。2.主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正n边形的有关计算。圆这一章中的

2、知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。二.中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三.知识框图：【典型例题】例1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是

3、否安全？分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：解：∴点导火索的人非常安全例2.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解：分两种情况讨论：（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：过O作OE⊥CD于E，

4、延长EO交AB于F连OC、OB，则CE＝DE∵AB∥CD，OE⊥CD∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：过O作OE⊥CD于E，交AB于F以下证法同（1），略。例3.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠A

5、DC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为解：连结BC、BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADB∴AC·AD＝AE·AB同理，BD·BC＝BF·AB∵△APE∽△BPF∵P为半径OB的中点∴tanC·tanD＝3例4.分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。证明：延长DB至点E，使BE＝D

6、C，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。

7、例5.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结OD，BD∴∠ABC＝∠AOD∴OD∥BC∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO∴AB＝16，BE＝24∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠EDA＝∠EBC∵∠E是公共角∴△EDA∽△EBC设AD＝DC＝x，ED＝y，则有∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝∠F＝90°又∠DAB＝

8、∠FCB∴Rt△ADB∽Rt△CFB说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。例6.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于解：连结FD∵AB是直径，∴AD⊥BC∵AB