资源描述：
《高阶微分与泰勒公式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2008年12月陕西理工学院学报(自然科学版)Dec.2008第24卷第4期JournalofShaanxiUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition)Vol.24No.4[文章编号]1673-2944(2008)04-0076-04高阶微分与泰勒公式曹吉利,刘延军(陕西理工学院数学系,陕西汉中723001)[摘要]泰勒公式在数学分析中具有很重要的地位。由一元函数的微分出发,引出一元函数及二元函数的高阶微分,以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式,其优点是从微分到泰勒公式,形式统一。举例说明了其应用。[关键词]二阶微
2、分;高阶微分;泰勒公式;近似计算[中图分类号]O175[文献标识码]A[1]在一元函数中微分的概念为:设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,当给变量x在x0处一增量△x,且当x0+△x∈U(x0)时,相应地函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果其增量可表示为△y=A△x+o(△x),其中A不依赖于△x,则称函数y=f(x)在点x0处可微,并称A△x为f(x)在点x0处的微分,记作dyx=x0=A△x1[1]在上述定义下,从理论上可以证明恰有A=f′(x0),即dyx=x0=f′(x0)△x1引入微分的好处之一在于近似计算,即若△y用dyx
3、=x0作近似,则有△y=f(x0+△x)-f(x0)≈f′(x0)△x,即f(x0+△x)≈f(x0)+f′(x0)△x1若记x=x0+△x,那么△x=x-x0,于是f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0),其几何直观为“以直代曲”。[2]在现行的教材中对于高阶微分的定义均采用一阶微分的微分定义为二阶微分,二阶微分的微分n(n)n定义为三阶微分,以此类推,于是有df(x)=f(x)dx.而这种定义既没有揭示其本质,也没有显示其内涵,有不尽意之处,为此引入如下定义。1一元函数的高阶微分与泰勒公式1.1二阶微分的定义定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0
4、)内有定义,给变量x在x0处一个增量△x,且x0+△x∈U(x0)时,相应地函数有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果其增量可表示为B22△y=A△x+(△x)-o((△x)),2!2其中A,B不依赖于△x,则称函数y=f(x)在点x0处二阶可微,并称A△x,B(△x)为函数y=f(x)在点2x0处的一阶微分、二阶微分,依次分别记作dy,dy,即22dyx=x0=A△x,dyx=x0=B(△x),收稿日期:2008-06-24作者简介:曹吉利(1956—),男,陕西省礼泉县人,陕西理工学院教授,主要研究方向为基础数学。第4期曹吉利,刘延军高阶微分与泰勒公式可
5、以证明:A=f′(x0),B=f″(x0)1从而记号222dyx=x0=f″(x0)(dx)=f″(x0)dx,与导数是微商的记号一致,并可推广到高阶微分。1.2注记若记x=x0+△x,即△x=x-x0,于是f″(x0)22△y=f(x)-f(x0)=f′(x0)(x-x0)+(x-x0)+o((x-x0)),2!f″(x0)22即f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0)+o((x-x0)),2!这就是泰勒公式的雏形,将其推广到n阶泰勒公式有水到渠成之作用。B2若用A△x+(△x)作△y的近似,即2!f″(x0)2△y=f(x0+△x)-f(x0
6、)≈f′(x0)△x+(△x),2!其精度大为提高。3例1求1.02的近似值。3解:考虑函数y=f(x)=x,取x0=1,△x=0.02.由于11212f′(x0)=3=,f″(x0)=-3=-,239593xx=x0=1xx=x0=1311221490596则1.02≈1+×0.02-×(0.02)=1+-=,32!91509000090000151而用一阶微分的近似值为,采用二阶微分显然比用一阶微分作为近似要精确得多。150f″(x0)2另外f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0),其几何直观为用二次曲线代替复杂曲线之2!功效。1.3一元函数
7、的n阶泰勒公式下面给出基于高阶微分形式的n阶泰勒公式。[1]定理1若函数f(x)在点x0处的某邻域U(x0)内有直到n+1阶的微分,则在该邻域内任意一点x处有公式f′(x0)f″(x0)2f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)+⋯+1!2!(n)(n+1)f(x0)nf(x0+θ(x-x0))n+1(x-x0)+(x-x0),n!(n+1)!这里,0<θ<1.此公式称为函数f(x)在点x0的n阶泰勒公式。利用微分记号,n阶泰勒公式可写成20df(x)df(x)f(x)=df(x)+++⋯+x=x01!x=x02!x=x0nn+1df(x)df(x)+,
