概率方法在不等式证明中的应用.doc

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1、概率方法在不等式证明中的应用引言：不等式在我们生活、学习中无处不在，初中、高中乃至大学，各种形态各异的不等式出现在我们身边，而不等式的求解则变成了一大难题。在学习了概率论后，设想如果能将随机思想运用于解不等式中，则该问题便可迎刃而解。实际上，对于一些积分不等式、级数不等式、三角函数不等式等，如果我们可构造概率模型、引入随机变量、随机事件，再利用概率中数学期望的性质、概率的单调性等概率知识，那么就能够大大简化不等式的证明过程，且又清晰明了、通俗易懂。一、利用概率的单调性证明不等式在证明不等式时，如果能够发现有两个或三个介于之间的量，那么可以将其设为某些事件的概率，然后巧妙运用概率的

2、性质如单调性、规范性等，从而方便快捷地解决不等式的证明问题。例1设求证：（I）用概率论方法证明：证明：因为所以设其中为独立事件，则由性质1可得：所以得：（II）用构建一次函数证明：证明：构造一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上当时，所以当时，所以因为是一次函数，且所以在上，恒有即对比：对比以上两种解题方法，可以鲜明地看出运用概率论知识来证明不等式方便简单，避免了分类讨论和一些繁琐的计算化简。例2已知求证：分析原式即由条件知所以即需证即需证成立，显然利用概率模型来证极为简单。证明:设两独立事件和即则所以因为故即得。所以例3证明：若a,b,c为三角形三边的长，且则(第23届全

3、苏数学奥林匹克试题)证明：为三角形三边的长同理设为三个独立事件，且则从而有小结：根据题意建立概率模型，设定随机变量，将不等式中的未知量用模型中的事件来替换，就可利用概率中事件之间的关系列出不等式，从而获得证明。这种思路方法也可适用解决生活当中的一些不等关系，给我们生活带来便捷。二、利用切比雪夫不等式证明与概率有关的不等式定理1（切比雪夫Chebyshev不等式）设随机变量的数学期望，方差,则对于任意正数，成立不等式：.证明：略。切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越高；若方差越大，则概率越

4、小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式说明方差刻画了随机变量的取值对其期望的离散程度。当随机变量的分布未知时，由期望与方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息(实用性强)，利用这个信息可以粗略估计(估计粗糙)随机变量落入关于其数学期望对称区间内(有限制)的概率。例4设的概率密度函数为试证：[1]证明：因此，由切比雪夫不等式取对随机变量有即引理1设随机变量X的数学期望EX=0，方差，则对于任意正数ε，成立不等式：证明：对任意的实数x>0,利用马尔可夫不等式，有记则时f(x)达到最小值，此时，命题得证。根据该引理，容易得到下列定理。定理2（单边切比雪夫

5、不等式）设随机变量X的数学期望EX=μ，方差,则对于任意正数ε，成立不等式：,[2]例5将n(n>5)个人的帽子充分混合后每个人随机地从中取出一顶，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：记i=1,2,…,n.设，则帽子和人配对数X可表示为由于，所以，利用单边切比雪夫不等式，有.三、利用数学期望的性质证明不等式1）利用方差的非负性由方差的定义及重要计算公式有(1)利用上述方差的非负性，可使得一些分式不等式或积分不等式很快得到证明，避免繁琐的推导过程。例6设，且求证：证明：由题设，可设离散型随机变量X的概率分布列为X1/x2/y3/zPxyz则∴例7设为锐角，且则[3]证明

6、：由得构造随机变量的函数分布列：则由，得小结：由上面的例子可以看出，利用方差的非负性证明分式不等式时，关键在于灵活构造随机变量的概率分布列，但必须注意满足概率非负，且其和为1的条件。例8若在上非负连续，，则证明：∵在上非负连续，又，由概率密度函数定义，是某取值在上的随机变量ξ的密度。令由（1）得(2)同理∴(3)由（2）+（3）有2）利用Jensen不等式定义1（凸函数）设为在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数。定义2（凹函数）设为在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凹函数。定理3（Jensen不等式）设是一随机变量，取值于区间，(1

7、)若是连续的凸函数，那么如果和存在，则；(2)若是连续的凹函数，那么如果和存在，则[4]例9设在上非负连续，则证明：令则密度，∴在上非负连续，存在。令为凸函数。，由，即例10设在上连续，，在上位可微凸函数，则[3]证明：令∵在上连续，在上可微凸函数∴在上可积，存在.由例11若在上连续，且,则证明：令随机变量为定义在上的均匀分布.，为凹函数，∵在上连续，且,由可积性∴和存在由Jensen不等式为凹函数，∴即小结：上面的例子说明，如果被积函数包含凸函数或者凹函数，可以适当引入随机变量