概率模型在等式证明中的应用

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1、概率模型在组合等式证明中的应用张雅清(太原大学外语师范学院数学系，山西太原，030012)摘要：数学中某些组合等式用确定的数学方法证明是比较困难的，本文利用建立概率模型的方法，根据概率论的相关性质来证明等式，使很多等式的证明赋予现实意义，更容易掌握。关键词：等式概率数学模型TheapplicationofprobabilitymodelintheproofofcombinationequationZhangYa-qing(DepartmentofMathematics;TaiyuanUniversityForeignLanguageNormalSchool;Ta

2、iyuan030012)Abstract:Somecombinationinmathematicsequationwithcertainmathematicalmethodprovedtobemoredifficult.Thispaperusingthemethodofestablishingaprobabilitymodel,accordingtotherelatedpropertiesofprobabilitytheorytoprovethatequality,makealotofequationwithproofofpracticalsignificanc

3、eandmucheasiertomaster.Keywords:equalityprobabilitymathematicalmodel建立数学模型的过程叫做数学建模，数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能够提供处理对象的最优决策或控制。【1】实际上，在很多数学问题中，融入现实背景，建立数学模型，更有利于学生对问题的理解。在学习概率时，常利用排列组合方法进行讨论，如解决古典概型、伯努利概型等，反过来，也可以通过构造这些特殊

4、的概率模型求解一些排列组合问题。构造随机概率模型就是根据问题的条件及所给的数量关系，构造组合成新的数量关系，使问题在新关系下实现转化，并利用概率模型来解决问题。【2】因此问题的关键是如何构造合理的概率模型。例1：分析：要证明，只需证明，只要构造事件，概率分别为与，并且概率和为1即可。证明：我们建立抽球模型，假设盒中有个球，其中有个白球，1个黑球，从中任取个，令=“取到一个黑球，个白球”=“取到个白球”，根据古典概型概率求解可得：而，即：故例2：分析：要证，只需证明。因此只需要类似于例1构造一个合适的概率模型，使其个事件的概率之和为1即可。证明：类似于例1构造一个

5、抽球模型：假设盒中有个白球，个黑球，现从盒中任取个球，令：=“恰好取到个白球”（）显然：为互斥的，且故（1）下面我们求发生的概率，恰好取到个白球，即在抽取中，抽到个白球，个黑球，故（2）由（1）（2）可得：即：这个等式我们可以推广为,也可以用类似的概率模型来证明。例3：证明：构造概率模型——重复进行次抛硬币试验，则次试验相互独立。设事件=“在一次试验中出现正面”，随机变量=次试验中发生的次数则的分布列为（）由分布列的性质得，即：故例4：证明：类似于例3构造概率模型——重复进行次抛硬币试验，则次试验相互独立。设事件=“在一次试验中出现正面”，随机变量=次试验中发生

6、的次数则的分布列为（）于是（3）另一方面，令，则（4）由（3）（4）可得整理可得：在证明组合恒等式时，建立数学模型从概率的角度来分析往往能使问题简化。即针对具体问题，在构造概率模型后，从不同的角度考虑其概率或者随机变量的数字特征，进来推导得出结论，使得等式的证明更加容易理解。参考文献[1]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1987.[2]唐燕玉.几个不等式的概率函数证明方法[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010（4）：74—78.