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1、第19卷第3期苏州教育学院学报Vol.19.No.32002年9月JournalofSuzhouEducationCollegeSep.2002线段定比分点公式在几何证题中的应用于晓晶(苏州教育学院数学系,江苏苏州215002)证明几何题,我们一般常采用综合分析法,这确是行之有效的重要方法,但在证明过程中有时却过于复杂,不易理解.而用解析法来证明就可以简化证明,且思路清晰易于理解.下面利用线段的定比分点公式来解决一些几何题目.线段定比分点公式:用点的径向量表示:对于有向线段P1P2(P1≠P2),如果点P满足P1P=λ·PP2(λ≠-1),则称点P是把有向线段P1P2分成定比为λ的分点,O是空
2、间任意一点,则OP=OP1+λOP2.1+λ例1如图1,设■ABC的三个顶点为A、B、C,同一平面上有一点P,今取Q、R、S,使PC∶CQ=λ,QA∶AR=μ,RB∶BS=ν,试求点S,又问如何确定P的位置,才能使P和S重合.解:空间任取一点O,设,OA=a,OB=b,OC=c,OP=p,则由定比分点公式得OP+λOQOC=.1+λ图11+λ1可得OQ=c-p.λλOQ+μOR1+μ1+λ1又OA=可得OR=a-c+p.1+μμλμλμOR+νOS1+ν1+μ1+λ1又OB=可得OS=b-a+c-p.1+ννμνλμνλμν(1+ν)μλ(1+μ)λ1+λ令OS=p.则当p=b-a+c时,P、
3、S重合.1+λμν1+λμν1+λμν2λb-λa+c特例:若PC∶CQ=QA∶AR=RB∶BS=λ时,当p2时,则P、S重合.λ-λ+1若λ=μ=ν=1时,则当p=b-a+c时,P、S重合.例2如图2,设■ABC的三个顶点为A、B、C,点A1、B1、C1分别为边BC、CA、AB所在直线上的点,且AC1∶C1B=λ,BA1∶A1C=μ,CB1∶B1A=ν,求证:1+λμνS■ABC∶S■ABC=.111(1+λ)(1+μ)(1+ν)①收稿日期:2002-05-14作者简介:于晓晶(1972-),女,黑龙江伊春市人,苏州教育学院数学系助教。65①证明:空间任取一O,设OA=a,OB=b,OC=c
4、,则由定比分点b+μ·cc+νaa+λ·b公式得OA1=,OB1=,OC1=则A1B1=1+μ1+ν1+λc+νab+μca+λbb+μc-,A1C1=-,所以S■ABC=1+ν1+μ1+λ1+μ111111+λμνA1B1×A1C1=a×b+b×c+c×a.22(1+λ)(1+μ)(1+ν)图211又AB=b-a,AC=c-a,所以S■ABC=AB×AC=(b-a)×(c-a)221=
5、a×b+b×c×a
6、.因此S■ABC∶S■ABC21111+λμν=.(1+λ)(1+μ)(1+ν)(一)若A1、B1、C1共线,即S■ABC=0,则λμν=-1,即为梅涅劳111(Menelans)定理:设
7、■ABC的三边BC、CA、AB所在直线被一直线分别BA1CB1AC1截于点A1、B1、C1,如图3所示,则有··=-1.显然其逆命A1CB1AC1B图3题也成立.所以S■ABC=0λμv=-1.1112λ-λ+1(二)当λ=μ=ν时,S■ABC∶S■ABC=2.111(1+λ)利用此题结论可解:1.将任意三角形ABC的三边分为m+n等份,使AA1∶A1B=BB1∶B1C=CC1∶C1AS33■ABC111m+n=m∶n,证明:=3.S■ABC(m+n)2.已知■ABC的三边BC=a、CA=b、AB=c、它的内切圆与其三边分别相切于A1、B1、C1,S■ABC111试求:.S■ABC1(三)当λ
8、=μ=1时,即A1、B1、C1为各边中点,则S■ABC∶S■ABC=.这是平面几何中一1114道典型题目.例3已知ΔABC如图4-1、4-2,A1、B1、C1分别为边BC、CA、AB所在直线上的点,且AC1∶C1B=λ,BA1∶A1C=μ,CB1∶B1A=ν,A2、B2、C2分别为AA1与CC1、AA1与BB1、BB1与CC1的交点,求证:2(1-λμν)S■ABC∶S■ABC=.222(1+λ+λμ)(1+μ+μν)(1+v+λν)图4-1图4-266证明:空间任取一点O,设OA=a,OB=b,OC=c,则由定比分点公式得OB+μ·OCb+μ·cOC+ν·OAc+νaOA+λ·OBOA1==
9、,OB1==,OC1==1+μ1+μ1+ν1+ν1+λa+λ·b.1+λAA2OA+m·OA11mmμ设=m,则OA2==a+b+c.A2A11+m1+m(1+μ)(1+m)(1+μ)+(1+m)C1A2OC1+nOC1λn设=n,则OA2==a+b+c.A2C1+n(1+λ)(1+n)(1+λ)(1+n)1+n由OA2=OA2,得11mλmμn=,=,=.1+m(1+λ)(1+n)(1+μ)(1
