线段的定比点公式的应用(精品绝对好).doc

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1、线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x1，y1)是起点的坐标，(x2，y2)是终点的坐标，(x，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：2、由确定：先求（不能错误的表示为）再据与的方向决定λ的符号．例：设点P（，，点P是直线上任意一点，且满足，求点P的坐标.（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P与起点P1重合2、λ＝1时，分点P为线段P1P2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P1

2、、P2重合，与P1P2为线段矛盾）　∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P不可能与终点P2重合二、例题讲解例1、已知点A分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A分的比；（2）B分的比；（3）C分的比．分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且

3、BA

4、＝2

5、AC

6、（如图所示）　　　　　　　例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，　　　例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在B

7、C上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：　　如图所示，　　　　∵D点内分的比为，　　　　设E分有向线段的比为λ，　　　　由题设条件可知：　　例5．已知、不共线，，，将符合下列条件的向量写成的形式：（1）点分所成的比，求；（2）点分所成的比，求.分析：借助定比分点的概念解题。解：（1）由，得，即.

8、故，即.（2）由上可知即.小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了这个与定比有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式.值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。例6、如图所示，已知直线过点和点，与轴，轴交于点和点．求：点分所成的比，点的坐标．分析：设点，则可由可求得的值．同样方法可求点分所成的比再用定比分点坐标公式，求得．解：设点，，点分所成的比设点分所成的比为，同理可得点坐标是小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以．本题也可以这样求点分所成的比，设，根据定比分点坐标分式得解之在求时也

9、要注意讨论如已知点在直线上，且，求点分所成的比．（1）当点在、之间时，；（2）当点在延长线上时，.例7、如图所示，已知矩形中，，，，点是边的中点，连结与矩形的对角线交于点，求点坐标．分析：点在上，若知道点分所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求点坐标，由题意知∽且，由此知，即点分所成的比．解：四边形是矩形，是边的中点，∽，且即点分所成的比设．由，，根据定比分点坐标公式得，点坐标是小结：同理点分所成的比，由此可求得点坐标是，再由中点坐标公式可求得点坐标是．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．点和点坐标，也可根据和求得，当然点坐标也可根据求得，即，所

10、以解之，．例8．若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围．分析：当直线与线段有交点时，这个交点分有向线段所成的比不小于0，从而得到关于的不等式，但应注意考虑端点的情况．解：当直线过点时，有，∴.当直线过点时，有，∴.当直线与线段的交点在、之间时，设这个交点分的比为，它的坐标为，则，.而直线过点，则，整理，得.由，得，解得或.故所求实数的取值范围为或。小结：(1)定比的符号是求解本题的关键．应当注意，当点在线段上时，；当点在线段或的延长线上时，.切不可将之混为一谈．（2）恰当地利用定比的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．例9．已知的三顶点坐标分

11、别为，，，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标．分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定分的比，再利用公式求解．解：设直线交于，依题意，，又因为，故∽，所以，．即点分的比为．设的坐标为，由定比分点公式有，．∴点的坐标为．小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比的值．求的值，除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等．例10．已知，，且，，求点、的坐标.分析：借助线段的定比分点式求解.解：设，.由，可得，即，.运用定比分点公式可知仿上可求得，综上可知，