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1、集合思想及集合语言在解题中的应用集合是高中数学的基础，也是高考常考的内容之一．集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题．本文将通过几个典型例题的剖析，与大家谈谈集合思想与集合语言与其它知识的综合应用．一、集合与函数例1、已知集合，，那么等于（）A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D.解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合中y是函数中的y的取值范围
2、，故P集合的实质是函数的值域．而Q集合则为函数的定义域，从而易知，选D.评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，从而确定其实质．例2、已知A=，B=，若，求k的取值范围．分析：A集合是函数的定义域，而B集合中的方程可简化为：，故本题的题意是使方程有解的k的取值范围，显然即求函数的值域．解：由，得A=，当时，可得：，∴∴A=[-3,0]二、集合与方程例3、已知，求实数p的取值范围．剖析：集合A是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，则由，可得两种情况：（1）A=φ，则由，得：（2）方程x2+(p+2)x+1=0
3、无正实根．则或（x1x2=1>0）于是例4、已知集合,集合，其中x、t均为实数，求．剖析：集合A是使方程x2+2tx-4t-3=0的解集为φ的t的取值范围，集合B是使方程x2+2tx-2t=0有解的t的取值范围，于是由，得.三、集合与不等式例5、已知集合A={a
4、ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立}，B={x
5、x2-(2m+1)x+m(m+1)<0},若A∩B≠Φ，求实数m的取值范围．分析：集合A是使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立的a的取值范围，集合B是不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)<0的解集，下面即可
6、用相关知识解决．解：由不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立，可得：(a＋2)x2+4x＋(a-1)≥0(★),(1)当a+2=0时，即a=-2时,(★)式可化为x>3/4，显然不符合题意．(2)当a+2≠0时，欲使(★)式对任意x均成立，必需满足，解之得A=．又可求得B={x
7、m1.四、集合与解几例6、已知集合，如果,求实数a的取值范围．剖析：从代表元素(x,y)看,这两个集合均为点集，又x2+mx-y+2=0及x-y+1=0是两个方程，故A∩B≠φ的实质为两个曲线有交点的问题，我们将
8、其译成数学语言即为：“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围．”解：由，得①，方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.首先，由.当时，由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当时，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内．综上，所求m的取值范围是．例7、已知集合，若，求实数a的值．解：（1）当a=1时，集合B=Φ，符合题意．（2）当a≠1时
9、，易知A、B两集合均为点集，其中A集合为直线y=(a+1)(x-2)+3(x≠2)上的点集，B集合为直线上的点集，由，知两直线无公共点，故又有以下两种情况：①若两直线平行，则-(a+1)=a+1∴a=-1②若直线经过点（2,3），则，解之得：．综上：五、集合与导数例8、已知，A=，则B中的元素个数为A.有3个B.有2个C.有且仅有1个D.不存在解：由导数的知识可知：A={x
10、x2-12x+20≤0}＝{x
11、2≤x≤10},又，∴当x∈A时，易知：∴f(x)在区间[2,10]上为增函数而可求得f(2)<0,f(10)>0,∴方程
12、f(x)＝0在区间[2,10]上有且仅有一解．即集合B中仅有一个元素．
