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1、几类常见的数学陷阱黄江艳我们都知道，细节决定成败。有些数学问题看似简单，作为解答题却不容易拿满分，作为选择填空题却拿不到分。究其原因，笔者发现很多同学在解题中没有注意到解题细节，我们称之为掉进了数学陷阱。笔者依常见题型设置的数学陷阱分为公式问题、范围问题、分类问题、图形问题、方法问题、特例问题六种类型，下面举例说明。一、公式问题例1已知下列各数列的前n项和，求的通项公式（1）（2）错解：陷阱：利用公式求数列的通项公式时，必须验证是否满足.所以，经过验证（1）不符合，，（2）也不符合，.例2求错解
2、：陷阱：等比数列求和公式的使用，应该满足条件，且判断数列是等比数列；特别注意等比数列必须满足.所以本题应该分三类即：；；三种情况，又因为时可归为.所以答案应该是一、范围问题例2求函数的单调性错解：设，则在区间，在.陷阱：函数的单调性必须在定义域范围内讨论；本题忽略对数函数的定义域.即：这一隐含条件.因为函数定义域为，所以在区间上为减函数，在上为增函数.例3已知求的最大值.错解：由已知得令，配方得，当时，原式取得最大值.陷阱：等式中两个变量是相互约束的，即容易考虑到满足，但不易考虑到满足“，即”.
3、最后应该取交集，得到满足.所以本题应该是当时，原式取得最大值.例4已知，则求的取值范围。错解：①，②，③，由①+②得由①+③得的取值范围是.陷阱：不能同时取到最小值，也不能同时取到最大值，如果由“和”利用不等式的性质先求出的范围得到的范围，就会致使的范围扩大；所以，应该用线性表示，然后利用不等式的性质求的范围.本题答案是.例2求函数的最小值.错解：由均值不等式易知，所以的最小值是2.陷阱：用均值不等式求函数的最值时，一定要验证取等号时的是否落在定义域范围之内，经验证发现当且仅当时取等号，而，所以
4、本题不能用均值不等式解决.而是用作出对勾函数的图像知，函数上是增函数，所以.一、分类问题例3设，如果函数在上的最大值为14，求的值．错解：当，陷阱：忽略字母参数的不同情况，默认上单调递增；导致对于，没有从本身的范围与单调性之间关系去考虑问题，直接错误地认为.本题应该分两种情况，①当，上单调递增，故得.②当，同理可知；.例4判断函数的奇偶性错解：陷阱：涉及字母，当字母取不同值时，导致结果不同，则应该对字母进行分类讨论.本题应该分两类讨论，当.例5求过点且与圆相切的直线的方程。错解：设切线方程为半径
5、为1，解得，即切线方程为：陷阱：已知一个点，用点斜式设直线方程求解时，应该考虑直线斜率不存在的情况.本题通过作图发现斜率不存在的直线也满足要求.故本题答案为：或.例2设直线，若三条直线不能围成三角形，试求的值．错解：,又因为，所以陷阱：三条直线不能围成三角形，除了任何两条平行的情况外，还有三条直线相交于一点的情况，本题容易忽略后一种情况.当三条直线相交于一点时，得，故本题答案是.一、图形问题例11函数的零点个数为（）Ａ、3Ｂ、2Ｃ、1Ｄ、0错解：求函数的零点个数，相当于求的交点个数，由图像知道在
6、有一个交点，在有一个交点，即函数共有两个零点.陷阱：本题考用图形求函数的零点问题.在一个坐标系中做出函数的图象，因为没有考虑当时，指数函数比二次函数上升快这一特点，忽略两个函数在点再次相交.而漏掉零点.例12函数，则方程的根的个数为（）Ａ、3Ｂ、2Ｃ、1Ｄ、0错解：由易知，求方程的根，相当于求两个的交点个数，由图易知在有一个交点，在有一个交点，由此可见方程有两个根.陷阱：本题考虑用图形求方程的根.在同一直角坐标系中做出函数的图象时，忽略了交点（0,0），从而漏掉方程根.一、方法问题例13方程有解
7、，求实数的取值范围.错解：由方程有解，得有解.所以陷阱：本题没有考虑到另外，就算是考虑到的范围，用来做也要进行分类讨论，较为麻烦.本题最好是选择图像法.即由方程得，，由的图像知.例14设求的最小值.繁解：由陷阱：本题利用上述方法求解计算量较大，如果利用的几何意义求解就会简便很多，因为可以看作原点到的距离的平方，于是由点到直线的距离公式知道.二、特例问题例15，则的关系是：错解：即陷阱：解“”本题忽略对情况单独讨论.经讨论知道当时也成立，故.例16已知a,b均为单位向量，且a⊥b,若向量a+λb与
8、λa+2b的夹角为钝角，求λ的取值范围.错解：∵
9、a
10、=
11、b
12、=1,a·b=0,∴(a+λb)·(λa+2b)=λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.陷阱：cos〈a,b〉＜0〈a,b〉∈,本题中〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须把〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去，这是本题容易忽略的地方.即当〈a+λb,λa+2b〉为钝角时，λ＝±.故本题答案为.
