高数数列的极限.ppt

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1、第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限1这个概念贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的概念和运算很重要。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对也就是说它在变化的过程中无限的接近于某一确定的常数。极限概念前言稳定的状态。极限概念是高等数学中最基本的概念，2“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无

2、所失矣”播放——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A21、割圆术：一、数列31、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入41、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入5“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入6“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入7“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而

3、无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入9“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入10“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入11“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入12之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：把所去之半排列起来：此是公比为的等比数列引例2：第一

4、次去其一半，第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭”一尺之棰，共去棰长13等比数列的前n项和的公式设等比数列等比数列的前n项之和，上式两边同时乘以q有：上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：当时141、数列的定义依次排列的一列无穷多个数：称为数列，其中每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项（或通项），下标称为数列的项数。或按照一定的法则，定义1数列简记为15可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列，数列是整标函数162、数列的性质（1）有界性设已知数列若存在M>0,对于一切n都有则称数列是有界的；否则，若不存在这样

5、的正数M，则称是无界的。例如：数列都是有界的，而数列是无界的。17(2）单调性则称此数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。例如:是单调增加数列;是单调减少数列其特点是数列的点作定向移动，单增向右，单减向左。反之若则称此数列是单调增加的；若的项xn随着项数n的增大而增大，即满足18数学语言描述:二、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),当n>N时,用其内接正n边形的面积总有19引例在－1与1之间跳动观察可见：的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常

6、数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：观察下列数列的变化趋势20定义2若当时，一般项无限地接近于某个则称A为数列的极限，记作或（读作n趋向无穷大时，趋向于A）.若当时，不接近于任何确定常数A,确定的常数A,则称数列没有极限。21而无极限我们称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发散数列。例如：22例如,趋势不定收敛发散23及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.即或则称该数列的极限为a,若数列为了精确的反映接近a的程度与n之间的关系给出定义324为具体的说明几何解释:考察一般项为

7、数列，当n无限增大时xn与2的距离无限的小.当n>N时,总有欲使25由取只要即从10001项起以后的所有点与2的距离小于即有取只要即从101项起以后的所有点与2的距离小于即有26主讲教师:王升瑞高等数学第三讲27例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故2829303132333435363738394041例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取42例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为0.43证：只要注：1、化简

8、（必要时适当地放大）2、用倒推法得到与n有关的一系列不等式例4求证即当时，恒有44三、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n