专题一三角函数与解三角形.doc

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1、专题一　三角函数与解三角形该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直，以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的

2、应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题。第1讲三角恒等变换与三角函数一、牢记概念与公式1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：＝tanα；(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k·±α(k∈Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3.三种函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2

3、kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(k∈Z)；对称轴：对称中心：(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝；二、活用定理与结论1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理(1)正弦定理①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.注：R是三角形的外接圆半径．(2)余

4、弦定理①cosA＝，cosB＝，cosC＝.②b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x＝2kπ－，k∈Z，也可以表示为x＝2kπ＋，k∈Z.2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性．4．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再

5、求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB.7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．

6、当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线．►　探究点一　简单的三角恒等变换►　探究点二　三角函数的图象例2(1)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)，y＝f(x)的部分图象如图5－1，则f＝________.(2)要得到函数y＝cos（2x＋）的图象，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图象(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位►　探究点三　三角函数的性质【点评】本题是考查三

7、角函数性质为主的三角函数解答题，是高考中三角函数解答题的基本题目类型之一，解题的基本思想是通过三角恒等变换把已知函数化为一个正弦型(或余弦型)函数，通过正弦函数(或余弦函数)的性质得到所求解的函数的性质．在已知三角函数值求角或者三角函数式中的位置参数时，由于三角函数的周期性，其解的个数是无穷的，可以先求出其通解，再根据题目的其他已知确定其具体的数值．规律技巧提炼1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意