高考数学湖卷(理).doc

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1、2013湖南卷(理)一、选择题1．复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　B解析　∵z＝i＋i2＝－1＋i，∴z对应的点在第二象限．2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案　D解析　总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．3．在锐角△ABC中，角

2、A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.又A为锐角，∴A＝.4．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　)A．－B．0C.D.答案　C解析　画出可行域如图．设z＝x＋2y，当直线y＝－x＋过点M时，z取最大值，所以(x＋2y)max＝.5．函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)A．3B．2C．1D．0答案　B解析　画出两个函数f(x)，g(x)

3、的图象，由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.6．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足

4、c－a－b

5、＝1，则

6、c

7、的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]答案　A解析　由已知得

8、a＋b

9、2＝

10、a

11、2＋

12、b

13、2＋2a·b＝2，

14、a＋b

15、－1≤

16、c

17、≤

18、a＋b

19、＋1，∴－1≤

20、c

21、≤＋1.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　)A．1B.C.D.答案　C解析　由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以

22、正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为[1，]，不可能等于.8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)A．2B．1C.D.答案　D解析　建立如图所示的坐标系，则重心G，设直线RQ方程为y－＝k，则R，Q.∴直线PR：y－(1－k)＝－kx可得P.设n＝(－1，－1)，则〈，n〉＝〈，n〉，可得k＝，故P.二、填空题9．在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(

23、φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．答案　3解析　椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则0＝3－a，∴a＝3.10．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案　12解析　∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋9c2≥(a＋2b＋3c)2＝＝12.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.11．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的

24、距离为________．答案　解析　在⊙O中，PA·PB＝PC·PD，∴2×2＝PC×1，∴PC＝4，∴CD＝5.∴圆心O到CD的距离为＝＝.12．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．答案　3解析　ʃx2dx＝x3＝×T3＝9.∴T3＝27，∴T＝3.13．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出a的值为________．答案　9解析　输入a＝1，b＝2，执行第一次循环a＝3；第二次循环a＝5；第三次循环a＝7；第四次循环a＝9.循环终止，输出a＝9.14．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b

25、>0)的两个焦点，P是C上一点，若

26、PF1

27、＋

28、PF2

29、＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．答案　解析　不妨设

30、PF1

31、>

32、PF2

33、，则

34、PF1

35、－

36、PF2

37、＝2a，又∵

38、PF1

39、＋

40、PF2

41、＝6a，∴

42、PF1

43、＝4a，

44、PF2

45、＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴∠PF2F1＝90°，∴

46、F1F2

47、＝2a，∴双曲线C的离心率e＝＝.15．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝

48、________.答案　(1)－　(2)解析　(1)∵Sn＝(－1)nan－.n＝3时，a1＋a2＋a3＝－a3－①n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.②由①②知a3＝－.(2)n>1时，Sn－1＝(－1)n－1an－1－n－1，∴an＝(－1)