晶格振动的经典理论.ppt

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1、一.简谐晶体的经典运动。1.简谐近似2.一维单原子链，声学支3.一维双原子链，光学支4.三维情形二.简谐晶体的量子理论。1.简正坐标2.声子3.晶格热容4.声子态密度（晶格振动模式密度）三.晶格振动谱的实验测定—中子的非弹性散射。四.非简谐效应。1.热膨胀2.晶格热导率晶格振动与晶体的热学性质晶格振动认识的历史：静止晶格模型→振动形成“格波”→声子晶格热容认识的历史：杜隆—珀替经验规律→爱因斯坦模型→德拜模型实验验证固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X光衍射发生的条件，以后

2、还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein利用Plan

3、k量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特

4、别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。黄昆院士简介:（摘录）1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》(DynamicalTheoryofCrystalLattices)一书（英国牛津出版社，1954年）。（2006年

5、中文版）我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者。4.1晶格振动的经典理论一.一维单原子链的晶格振动二.一维双原子链的晶格振动三.三维晶体中原子的振动四.态密度函数五.近似条件与使用范围晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。研究固体中原子的振动时的两

6、个假设:（1）每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上.（2）原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以用简谐近似.在简谐近似下,晶体中原子振动有精确解,大部分符合实验.一.一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为n为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ)，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平

7、衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：β称为恢复力常数相当于把相邻原子间的相互作用力看作是正比于相对位移的弹性恢复力。如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：A是振幅，ω是角频率，q是波数，λ是波长，naq是第n个原子的位相因子，将

8、试解代入方