泛函分析答案.doc

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1、泛函分析答案：1、所有元素均为0的n×n矩阵2、设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的x,y∈L，以及变数λ和μ均有λx＋μy∈L，则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx＋μy＝0∈L，则L必定含零元素。3、设L是线性空间E的子空间，x0∈EL,则集合x0+L={x0+l,l∈L}称为E中一个线性流形。4、设M是线性空间E中一个集合，如果对任何x,y∈M，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx＋μy∈M，则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须

2、满足以下条件：（1）非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y（2）d(x,y)=d(y,x)（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z∈En维欧几里德空间常用距离定义：设x={x1,x2,…xn}T,y={y1y2,…yn}Td2(x,y)=()1/2d1(x,y)=dp(x,y)=()1/pd∞(x,y)=6、距离空间(x,d)中的点列{xn}收敛到x0是指d(xn,x0)à0(nà∞)，这时记作，或简单地记作xnàx07、设

3、

4、x

5、

6、是线性空间E中的任何一个元素x的范数，其须满足以下条件：　（

7、1）

8、

9、x

10、

11、≥0,且

12、

13、x

14、

15、＝0　iffx=0（2）

16、

17、λx

18、

19、=λ

20、

21、x

22、

23、,λ为常数　（3）

24、

25、x+y

26、

27、≤

28、

29、x

30、

31、+

32、

33、y

34、

35、,foreveryx,y∈E8、设E为线性赋范空间，｛xn｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N，使得当n>N,m>N时，均有

36、xm-xn

37、<ε,则称序列{xn}是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E，则称E为完备的线性赋范空间，即为Banach空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完

38、备，则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2（a,b）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L2（a,b）,＜∞。当L2（a,b）中内积的定义为（f,g）=(其中f(t),g(t)∈L2（a,b）)时其为Hilbert空间。★12、算子表示一种作用，一种映射。设X和Y是给定的两个线性赋范空间，集合DX，若对D中的每一个x，均有Y中的一个确定的变量y与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T，记为y=T(x)，y为x的像，x为y的原像。13、算子的范数：设T为有界线性算子，则对一切x∈D(T)，使不等式

39、

40、Tx

41、

42、Y≤M

43、

44、x

45、

46、X的正数M

47、的下确界称为T的范数，

48、

49、T

50、

51、=sup

52、

53、Tx

54、

55、/

56、

57、x

58、

59、,

60、

61、x

62、

63、≠0。直观的理解就是

64、

65、x

66、

67、的最大放大率。★14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T：EàE1，必有T0=0，则称集合{x∈E

68、Tx=0}为T的零空间，它是E的线性子空间，并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M，使得对每一个x∈D(T)，都有

69、

70、Tx

71、

72、Y≤M

73、

74、x

75、

76、X，则称T为有界算子。无界算子：设算子T：C1[0,1]àC[0,1]定义为：(Tx)(t)=x'(t),则T是线性算子，若视C1[0,1]为C[0,1]的子空间，则T是无界的。16、设{Tn}=L

77、(X，Y)，T∈L(X，Y)，如果对任何一个x∈X，均有

78、

79、Tnx-Tx

80、

81、à0(nà∞)，则Tn弱收敛于T。17、L(X，Y)是BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X为BANACH空间，F为XàX的算子，且D(F)∩R(F)≠Φ，如果x*∈X，满足F(x*)=x*，称x*为F的不动点。设集合QD(F)，如果存在常数q∈(0,1)使得对任何x',x''∈Q,有

82、

83、F(x')-F(x'')

84、

85、≤q

86、

87、x'-x''

88、

89、,称F为Q上的压缩算子，q为压缩系。压缩映像原理：设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且

90、F为压缩算子，压缩系为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点x*，若x0为Q内的任意点，作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,…,则{xn}∈Q，xnàx*,而且有估计

91、

92、xn-x*

93、

94、≤q/(1-q)

95、

96、F(xn)-F(x0)

97、

98、。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间，D是X的线性子空间，f:DàR，如果f满足：对任何α,β∈R，x,y∈D,f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),则f是D上的一个线性泛函，或者说由XàR的算子为泛函。泛函f的

99、范数定义如下：

100、

101、f

102、

103、=

104、f

105、=sup

106、f(x)

107、