泛函分析答案

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1、泛函分析答案:1、所有元素均为0的n×n矩阵2、设E为一线性空间,L是E中的一个子集,若对任意的x,y∈L,以及变数λ和μ均有λx+μy∈L,则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素,因为当λ和μ均为0时,λx+μy=0∈L,则L必定含零元素。3、设L是线性空间E的子空间,x0∈EL,则集合x0+L={x0+l,l∈L}称为E中一个线性流形。4、设M是线性空间E中一个集合,如果对任何x,y∈M,以及λ+μ=1,λ≥0,μ≥0的λ和μ,都有λx+μy∈M,则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两

2、个元素,d(x,y)为其之间的距离,它必须满足以下条件:(1)非负性:d(x,y)>0,且d(x,y)=0<―――>x=y(2)d(x,y)=d(y,x)(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z∈En维欧几里德空间常用距离定义:设x={x1,x2,…xn}T,y={y1y2,…yn}Td2(x,y)=()1/2d1(x,y)=dp(x,y)=()1/pd∞(x,y)=6、距离空间(x,d)中的点列{xn}收敛到x0是指d(xn,x0)à0(nà∞),这时记作,或简单地记作x

3、nàx07、设

4、

5、x

6、

7、是线性空间E中的任何一个元素x的范数,其须满足以下条件: (1)

8、

9、x

10、

11、≥0,且

12、

13、x

14、

15、=0 iffx=0(2)

16、

17、λx

18、

19、=λ

20、

21、x

22、

23、,λ为常数 (3)

24、

25、x+y

26、

27、≤

28、

29、x

30、

31、+

32、

33、y

34、

35、,foreveryx,y∈E8、设E为线性赋范空间,{xn}∞n=1是其中的一个无穷列,如果对于任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N,m>N时,均有

36、xm-xn

37、<ε,则称序列{xn}是E中的基本列。若E的基本列的收敛元仍属于E,则称E为完备的线性赋范空间,即为Banach空间。线性赋范空间中的

38、基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备,所以它必定是Banach空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备,则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2(a,b)为定义在(a,b)上平方可积函数空间,即设f(t)∈L2(a,b),<∞。当L2(a,b)中内积的定义为(f,g)=(其中f(t),g(t)∈L2(a,b))时其为Hilbert空间。★12、算子表示一种作用,一种映射。设X和Y是给定的两个线性赋范空间,集合DX,若对D中的每一个x,均有Y中的一个确定的变量y与其对应,则说这种对应关系

39、确定了一个算子T,记为y=T(x),y为x的像,x为y的原像。13、算子的范数:设T为有界线性算子,则对一切x∈D(T),使不等式

40、

41、Tx

42、

43、Y≤M

44、

45、x

46、

47、X的正数M的下确界称为T的范数,

48、

49、T

50、

51、=sup

52、

53、Tx

54、

55、/

56、

57、x

58、

59、,

60、

61、x

62、

63、≠0。直观的理解就是

64、

65、x

66、

67、的最大放大率。★14、根据线性算子零空间的定义:对线性算子T:EàE1,必有T0=0,则称集合{x∈E

68、Tx=0}为T的零空间,它是E的线性子空间,并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M,使得对每一个x∈D(T),都有

69、

70、Tx

71、

72、Y≤

73、M

74、

75、x

76、

77、X,则称T为有界算子。无界算子:设算子T:C1[0,1]àC[0,1]定义为:(Tx)(t)=x'(t),则T是线性算子,若视C1[0,1]为C[0,1]的子空间,则T是无界的。16、设{Tn}=L(X,Y),T∈L(X,Y),如果对任何一个x∈X,均有

78、

79、Tnx-Tx

80、

81、à0(nà∞),则Tn弱收敛于T。17、L(X,Y)是BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理,其具体内容如下:设X为BANACH空间,F为XàX的算子,且D(F)∩R(F)≠Φ,如果x*∈X,满足F(x*)=x

82、*,称x*为F的不动点。设集合QD(F),如果存在常数q∈(0,1)使得对任何x',x''∈Q,有

83、

84、F(x')-F(x'')

85、

86、≤q

87、

88、x'-x''

89、

90、,称F为Q上的压缩算子,q为压缩系。压缩映像原理:设算子F映BANACH空间X的闭子集Q为其自身且F为压缩算子,压缩系为q,则算子F在Q内存在唯一的不动点x*,若x0为Q内的任意点,作序列xn+1=F(xn),n=0,1,2,…,则{xn}∈Q,xnàx*,而且有估计

91、

92、xn-x*

93、

94、≤q/(1-q)

95、

96、F(xn)-F(x0)

97、

98、。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩

99、映射存在唯一的不动点,且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设X是实数域上的线性赋范空间,D是X的线性子空间,f:DàR,如果f满足:对任何α,β∈R,x,y∈D,f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),则f是D上的一个线性泛函,或者说由XàR的算子为泛函。泛函f的范数定义如下:

100、

101、f

102、

103、=

104、f

105、=sup

106、f(x)

107、

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