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1、34福建中学数学2008年第8期抽象函数周期性的判断及其简单运用朱永瑛江苏省洪泽县教师进修学校(223100)所谓周期函数就是：对定义域为D的函数同理可证f()1xa+=−/fx()是周期函数，且f()x，对任意x∈D，存在常数T>0()x+∈TD有2
2、
3、a是它的一个周期．f()(xTfx+=)，则f()x为周期函数．对具体的函1.4类型四f()()axfax+=−且f()()bxfbx+=−数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的定理四：定义在R上的函数f()x，若对任意的定义进行判断．那么，抽象函数的周期性
4、如何判断？x∈R，有f()()axfax+=−且f()()bxfbx+=−，又如何运用于解题呢？(其中ab,是常数，ab≠)则函数yfx=()是周期函1抽象函数周期性的判断数，2
5、ab−
6、是函数的一个周期．1.１类型一f()()xafxb+=+证明：∵f()()axfax+=−且f()(bxfb+=−定理一：定义在R上的函数f()x，对任意的x)对任意x∈R都成立，x∈R，若有f()()xafxb+=+(其中ab,为常数，∴f[(xxbf+2(−=++−))][axab(2)]ab≠)，则函数yfx=()是周期函数
7、，
8、
9、ab−是函数=f[(axabfbxfbbx−+−=2)](2)[()−=+−]的一个周期．=f[()bbxfx−−=]()，证明：∵f()()xafxb+=+对任意x∈D都成∴f[2xabf+()−=]()x，立，∴f()xaafxab−+=()−+，∴f()x是周期函数,2
10、ab−
11、是函数的一个周期.即f()xfxba=+(−).注：1．上述函数的定义域未必一定是实数集，∴
12、
13、ba−为函数f()x的一个周期.符合条件的任意数集都可以；1.2类型二f()()xafxb+=+2．定理四中，由f()()axfax
14、+=−且f()bx+定理二：定义在R上的函数f()x，对任意的=f()bx−可知函数图象关于直线x=a和直线x=bx∈R，若有f()()xa+=−+fxb(其中ab,为常数，对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地ab≠)，则函数yfx=()是周期函数，2
15、ab−
16、是函说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数．数的一个周期．2利用周期性求值证明：∵f()()xa+=−+fxb对任意x∈D都成立,在解决一些抽象函数的函数值问题时，若能充∴f()xaa−+=−−+=−+−fxab()fxba()，分利用函数
17、的周期性，问题常会得到巧妙的解决．即f()xf=−(x+−ba).例１函数f()x是定义在R上的奇函数，对任意∴f()xba+−=−+−fxba[2()]，的x∈R，都有f(1+xfx)=+(3)，求f(2)++ff(4)(6)∴f()x=−−{f[xbaf+2(−)]}=[xba+2(−)]，+"+f(2008)的值．∴f()x是周期函数,2
18、ba−
19、为函数的一个周期.解析：∵f(1+xfx)=+(3)，11∴函数f()x是周期函数，周期为2，1.3类型三fxa()+=，(或者fxa()+=−)f()xf()x∴
20、ffff(0)=(2)===(4)(6)"=f(2008)．定理三：定义在R上的函数f()x，对任意的∵f()x是奇函数，11∴f(0)=0，∴fff(2)=(4)==(6)"=f(2008)=0，x∈R，若有fxa()+=，(或fxa()+=−)f()xf()x∴fff(2)+(4)++(6)"+f(2008)=0.例2函数f()x对任意的x∈R，有fxfx()=+(1)(其中a为常数，a≠0)，则函数yfx=()是周期函+fx(1−)，且ff(0)=9,(10)=30.求f(101)的值．数，2
21、
22、a是函数的一
23、个周期．解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意证明：∵f()xa+=1/fx()，一种类型，但若对fxfx()=(1)++−fx(1)稍作变形，11∴f(2)xa+===fx()，fxa()1+/fx()将式中的x取作x+1，再将两式联立，便可发现其属于类型2．∴函数f()x是周期函数，2
24、
25、a是它的一个周期.∵fxfx()=(1)++−fx(1)①，将式中x取作x+12008年第8期福建中学数学35得f(1xf+=++)(2xf)()x②，11∴fx(+=16)−=−=f()x，联立①、②可得fx(1−)(2+
26、+=fx)0，fx(8+)−1/()fx∴fx(1−=−+)fx(2)，∴f()x是周期为16的周期函数．∴fx()=−fx(3)+=−−[(6)]fx+=fx(6)+，∴ff(2008)=(161258)×+∴f()x是周期为6的周期函数，=f(8)=−1/(0)f=−1/18．∴f(101)(=×+=ff6165)(5)例4若函数f()x是实数集上的偶函
