高一数学任意角的三角函数知识精讲.doc

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1、高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】【知识点精析】1.任意角的三角函数的定义：设P（x，y）是角α的终边上任意一点，

2、OP

3、＝r（r＞0），则正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P点的选取无关。②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为

4、P点的理想位置。2.三角函数的定义域、值域三角函数定义域RR值域[－1，1][－1，1]RR注意：确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为0。3.三角函数值符号用心爱心专心记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。）4.诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。即：用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角

5、函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2kπ＋α，，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。5.用单位圆中的线段表示三角函数值设任意角α的终边与单位圆相交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线交于T，则有向线段MP、OM、AT，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线。（如图所示）即：正弦线：用心爱心专心余弦线：正切线：用途：①比较三角函数值的大小。②解简单三角不等式。③证明三角等式或不等式。6.特殊角的三角函数

6、值可借助于以下图形记忆：7.需要注意的问题：在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（除不存在的情况）；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如α＝0°，sinα＝0；反过来，sinα＝0，则α＝k·360°，或α＝k·360°＋180°（共中）。【解题方法指导】例1.已知角α终边上一点P在函数y＝－2x的图像上，求角α的六个三角函数值。分析：如图，函数y＝－2x的图象是过原点和二、四象限的一条直线应分类讨论：用心爱心专心解：①当α

7、的终边在第二象限时，取P（－1，2）则∴②当α的终边在第四象限时，取P（1，－2），则x＝1，y＝－2，同理可得：说明：三角函数值的大小仅与角的终边位置有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。例2.已知，化简分析：本题首先由得知：，α是第一、三象限的角，或，然后运用三角函数定义，将给定的式子用x，y，r表示，就α的范围讨论x、y的符号（或者为0），最后确定化简结果。解：由知：α是第一、三象限的角，或α＝（此时tanα＝0），设P（x，y）是角α的终边上任意一

8、点，它到原点的距离为r，则，且y≠0（否则cotα无意义）用心爱心专心说明：化繁为简是解题的基本原则，去根号，去绝对值符号是本题解题的主线。本题考察了用定义化简三角函数的能力，以及分类讨论思想的应用。解题中容易出现的错误是，请同学们注意。例3.已知α为锐角，求证：证明思路分析：设角α终边与单位圆交于点P过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，M、N为垂足则MP＝sinα，OM＝cosα如图所示：连结PA，PB，在Rt△OPM中∵MP＋OM＞OP＝1∴sinα＋cosα＝MP＋OM＞1又∵∴而NP＝OM＝c

9、osα，∴∴故：点评：利用单位圆去思考、分析和进行判断，是解决简单的三角不等式问题的一个重要手段，它直观、准确、方便。很好的体现了数形结合的思想。希望同学们对单位圆的有关知识，做到深刻理解，灵活运用。【考点突破】【考点指要】用心爱心专心三角函数的概念是三角函数的基础，也是高考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一，试题多为选择题、填空题，难度一般不高。主要考查角的范围的判定和三角函数的符号。如果就这部分内容出题（不结合其它知识），历年高考所占分值最多5分（因为有可能不单独命题）本讲内容在高考中主

10、要考查：三角函数的定义，三角函数在各象限的符号判定，利用数形结合的思想（例如单位圆）确定角的范围和三角函数表达式的符号。解决“任意角的三角函数”问题的基本思路和方法。①数形结合的思想方法：由于任意角的三角函数是采用坐标定义的，所以研究三角函数的有关问题（比如求值问题、求定义域问题），都可采用坐标法，借助于图象解决。对于比较三角函数值的大小，以及简单的三角不等式，我们还常常借助于单位圆中的三角函数线去解决问题，往往显得更直观，更简洁。这些都体现了数形结合的思想方法。②分类讨论的思想方