高考数学一轮复习 零点知识梳理2 苏教版.doc

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1、零点应用一．瞄准高考1.函数的零点(1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．(尤其注意,f(a)f(b)<0是“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件)。二．解

2、析高考题型一　函数零点的判定例1已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.1)证明：f(x)在其定义域上是增函数；2)证明：f(x)有且只有一个零点；3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.【思维启迪】(1)利用导数法证明函数的单调性．(2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性,利用函数的单调性说明其唯一性．(3)运用“二分法”求其区间．【解答】(1)证明　函数的定义域为(0,＋∞)．∵f′(x)＝＋2>0,∴f(x)在(0,＋∞)上是增函数．(2)证明　∵f(2)＝ln2－2<0,f(3)＝ln3>0,∴f(2)·f(3

3、)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．由(1)知f(x)在(0,＋∞)上至多有一个零点．从而f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点．(3)解　由f(2)<0,f(3)>0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝,∵f()＝ln－1＝ln－lne<0,∴f()·f(3)<0,∴x0∈(,3)．取x2＝.∵f()＝ln－＝ln－>0,∴f()·f()<0.∴x0∈(,)．而

4、－

5、＝≤,∴(,)即为符合条件的区间．【探究提高】(1)f(x)在[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0是f(x)在(a,b)上存在零点的充分条件．存在并

6、不能说明唯一．所以本题第(2)问还应注意,证明零点的唯一性．(2)应用二分法确定零点所在区间长度不超过q,可有如下思考过程：①f(a)·f(b)<0,区间使

7、a－b

8、≤q,则零点x0∈(a,b),区间(a,b)为所求．②若f(a)·f(b)<0,区间使

9、a－b

10、>q,则取中点＝x0,进一步检验f(a)·f(x0)<0(或f(x0)·f(b)<0)及

11、a－x0

12、与q的关系(或

13、b－x0

14、与q的关系),直至符合要求为止．【变式】若函数f(x)＝

15、4x－x2

16、－a的零点个数为3,则a＝________.【解析】y＝

17、x2－4x

18、的图象如图∵函数y

19、＝

20、x2－4x

21、的图象与函数y＝4的图象恰有3个公共点,∴a＝4.6用心爱心专心题型二　函数与方程的综合应用例2已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围.【解答】(1)当m＝0时,f(x)＝－3x＋1,直线与x轴的交点为,即函数的零点为,在原点右侧,符合题意.(2)当m≠0时,因为f(0)＝1,所以抛物线过点(0,1),若m<0,f(x)的开口向下,如图(1)所示.二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.若m>0,f(x)的开口向上,如图(2)所示,要使函数的零点在原点

22、右侧,当且仅当解得即0

23、为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．证明　若a＝0时,则b≠0,此时方程的根为x＝,满足题意．当a≠0时,令f(x)＝3ax2＋2bx－(a＋b)．(1)若a(a＋b)<0,则f(0)·f＝－(a＋b)·＝a(a＋b)<0,所以f(x)在区间内有一实根．(2)若a(a＋b)≥0,则f·f(1)＝(2a＋b)＝－a2－a(a＋b)<0,所以f(x)在区间内有一实根．综上,方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．三．感悟高考1．判断函数的零点,要善于运用“三个转化”,时常将函

24、数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”．2．对