寿险精算利息基础.ppt

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1、第二部分利息基础知识一.利息的度量二.确定年金三.等值方程一.利息的度量1.基本概念在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间，由于受通货膨胀的影响，其实际价值也不同。因此，借入或出让资金都有相应的代价或报酬。利息：利息是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积函数、计息方式、投资期长短有有关。本金：开始投资滋生利息的款项。终值（累积值）：本金经过一定时期后形成的总金额称为终值，也称为累积值。

2、累积函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻的累积值（终值），a(0)=1，a(t)可连续或间断，a(t)单调递增，也可单调递减，但我们总希望它单调递增以保证存在正的利息。t表示1元本金投资使用的时间长度。时间长度可以用不同的单位来度量，如分钟、小时、日、周、月、季、三个月、半年、一年等。用来度量时间的单位称为“度量期”或“期”，其中最常用的期是年。总额函数A(t):一定额度（K个单位）的本金在t时刻的累积值称为总额函数，它是本金与利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t时刻的利息,则I(t)=A

3、(t)-A(0).A(t)与a(t)的关系：A(t)=A(0)a(t)。我们称累积函数a(t)的倒数1/a(t)为t期贴现因子或贴现函数,记为v(t).把1期贴现因子1/a(1)简称贴现因子，记为v.t期贴现因子是为了使在t期期末的累积值为1而在开始时投入的本金金额.即：A(0)=1/a(t)从而，A(t)=A(0)a(t)=[1/a(t)]a(t)=1.我们把为了在t期期末得到某个累积值而在开始时投入的本金金额称为该累积值的现值。如：1/a(t)是在t期期末累积值1的现值，在t期期末累积值A(t)的现

4、值是A(t)[1/a(t)]。在某种意义上，累积与贴现是相反的过程。a(t)为1单位本金在t期期末的累积值；而1/a(t)是t期期末1单位终值的现值。把从投资日起第n个度量期得到的利息金额记为In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1.In为一个时间区间上所得利息的量,A(n)为在一特定时刻的累积量。实际利率：某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，第n个度量期的

5、实际利率in=In/A(n-1)=[A(n)-A(n-1)]/A(n-1)；例1某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1020元，第二年末他存折上的金额为1050元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？解:显然A(0)=1000，A(1)=1020,A(2)=1050，因此，I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=30i1=20/1000=2%,i2=30/1020=2.941%.故第一年的实际利率2%，第2年的实际利率为2.941%。2.单利和复利前面讨论的实际利率是

6、针对某一个度量期而言的，若投资期为多个或非整数个度量期，那么如何进行利息的度量呢？最重要的度量方式有单利和复利两种。考虑投资一单位本金。（1）如果其在t时刻的累积值为a(t)=1+it，则该笔投资以每期单利i计息，称这样产生的利息为单利；（2）如果其在t时刻的累积值为a(t)=(1+i)^t，则称该笔投资以每期复利i计息，这样产生的利息为复利。由上述定义可知：（1）若以每期单利i计息,则在1元本金的投资期间，每一度量期产生的利息均为i。但这并不意味着其实际利率为i。实际上，对n>=1，第n期的实际利率为

7、显然，i_n关于n单调递减。常数的单利意味着递减的实际利率。（2）若以每期复利i计息。则在投资期间的不同度量期将产生不同的利息。即，I_n关于n单调递增。而对于每期实际利率，有i_n=[a(n)-a(n-1)]/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i.常数的复利意味着实际利率为常数。单利只在本金上计息，而复利是利上生利的计息方式。例2某银行以单利计息，年息为2%，某人存入5000元，问5年末的累积值是多少？解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.例3上例中若银行以复利计息，

8、其它条件不变，问5年末的累积值是多少？解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)^5=5520.4.即5年末的累积值为5520.4元。注意：在单利和复利下，也可用各期的实际利率计算累计函数和总额函数。设第t期的实际利率为i_t,则在单利下，A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+…+i_n);a(n)=1+i_1+i_2+…+i_n.在复利下，A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)***(1+i_n);a(n)=(1