优选法的对称试验最优性.pdf

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1、自筮．橐志第36卷第4期_数林撷英dohlO．3969／j．issn．0253—9608．2014．04．008优选法的对称试验最优性胡毓达教授，上海交通大学数学系，上海200240关键词优选法；斐波那契数列：黄金分割数摘要在实际应用中，通过试验的办法尽快求得只有一个最优方案问题的近似最优方案的方法，统称为优选法。利用斐波那契数列和黄金分割数来构建的近似黄金分割法类，是优选法中最重要和常用的一类方法。本文给出了近似黄金分割法类的第一个试验点与相应试验方法具有最大对称试验最优性次数之间的关系，据此可以判定任一近似黄金分割法的最大对称试验

2、最优性次数。20世纪60—70年代，中国数学家华罗庚达到最优(大)的最优(大)点的问题(求最小值可转提倡在全国推广被称为“优选法”的应用，在化为求其负数的最大值)。一般地，设)是区工矿企业取得了普遍成效。于是，在这类“尽间[a，6](日<6)上的单值(只有一个值的)函数，如可能少做试验、尽快地找到生产最优方案的方存在一点∈(口，6)，使得)在[，]上严格递法”⋯中，使用最多的“0．618法”在民众中曾增，同时在，胡上严格递减，则称)是[口，b]广为传播。鉴于“0．618法”的最优性常常会与上的单峰函数，[a，6．是)的单峰区问。在单峰

3、理论上的“黄金分割法”的最优性相混淆，特区间[a，6]上，求使单峰函数)取得最优(大)值别是在不少著作中甚至就将“0．6l8法”等同于的最优r大)点X的问题，称为单峰问题。“黄金分割法”。为此，本文将对优选法中最由于在实际应用中出现的单峰问题，一典型的“n次斐波那契法”“黄金分割法”和般都无法写出其单峰函数的解析表达式。因“0．618法”等黄金分割法类，在搜索最优方案此，对于这类问题的实用求解方法是：通过直时的最优性问题作出统一综述和澄清。接试验取得试验点处的函数值，然后经试验函数值的比较，淘汰掉最优点不在其中的“废区1单峰问题与对称

4、试验方法间”，逐次缩小单峰区间来求得其近似最优点。此类方法统称为淘汰废区间方法。在现实世界中，许多事物都会具有某种意设是[O，1]中单峰函数()的最优点。为义下的最优性问题。例如，一些化工产品有原更快地求得X的近似点，通常采用如下在单峰材料的最优配比问题，机床上的刀具加工零部区间[0，1]中逐步进行“对称试验”的淘汰废区件有最优切削角问题，加工某些食品时则有最间方法。具体做法是：第1步，在第1级单峰区优温度问题，等等。这些要寻求最优配比、最间[0，1]中，取第1个(次)试验点X(>0．5)和与它优切削角和最优温度的问题的共同点，都是要

5、对称的第2个试验点x=l—(<0．5)，然后比较在它们的所有可能方案中，求得其最优方案的(。)和()的值。这时有以下3种可能：①若问题。在数学上，则都归结为在区间[0，1]上，)>2)，必∈，1】和X仨[0，X2]，故可淘寻求只有一个峰(最大)值函数()，使其函数值285■一Ich；nese】。una．。Nauelv．0．．36N。．4IMATHEMATIcALEssENcE，，、＼ifx、．。＼．．／。)妒2)妒1)fI如t1t(b)O<~o(x2)(c)妒1)~o(x2)图1淘汰废区间方法汰掉废区间[0，X2]，留下缩小了的第2级

6、单峰区间废区间，所留下单峰区间的长度都是相等的。[，td=[x：，1]和留下第2次试验点_2。(图l(a))；②如若采用两个试验点在单峰区问中是不对称的若)

7、验点或X：(图l(c))。如此，不论发生哪一种情况，都可以将第1级单峰区间[0，1]缩小成第2级一—l¨～fll一单峰区问t2]。这时，完成了第1步对称试验。第2步，在第2级单峰区间]中，再选取第2次图3不对称试验方法试验点，的对称试验点，经同样的函数值比较之后，又可淘汰掉废区间，得到又缩小了的第32斐波那契数列和黄金分割数级单峰区间[t2，td*D留下第3次试验点(图2)，等等。按照以上做法，在单峰区问[0，1]上连续取本节介绍优选法中两个重要概念：斐波那f≥2)个试验点和做门一1步对称试验的方法，称契数列和黄金分割数。为[0，1]

8、上的次对称试验方法，简记“。法”。1202年，意大利数学家列奥纳多(Leonardo)在署名为斐波那契(FibonacciL．)的一本《算盘册(LiberAbaci)})的书中[2]，曾提出下面的兔子繁殖问题：兔子出生后