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1、高二数学培优训练题（三）例题1：已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.变形：设（1）讨论的单调性；（2）是否存在实数，使得关于的不等式在（0，+）上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在时，试说明理由；（3）求证：例题2．（1）已知函数f(x)＝ex－1－tx，∃x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；（2）证明：＜ln＜，其中0＜a＜b；（3）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．例题3．函数，其中为实常数。（1）讨论的单调性；（2
2、）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若设，。是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由．例题4．已知函数，其中。（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间（0，1）上为增函数，求的取值范围；（3）证明：。练习：一、选择题．已知为常数,函数有两个极值点,则（ ）A．B．C．D．2．设函数（ ）A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值3．设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A．B．是的极小值点C．是
3、的极小值点D．是的极小值点4．函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围.5．已知函数．（Ⅰ）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当且时，证明：.(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0
4、,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(3)若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,].
