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1、高二数学培优训练----抽象函数典例分析抽象函数的常见解法抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。例1设
2、函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立，且f(1)=1，求f(x)的解析式。例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。例3已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x>0,y>0，恒有f(xy)=f(x)+f(y)求证：当x>0时,f()=－f(x)二定义法在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解
3、决问题的方法。例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为，f(log2x)定义域为___________。例5已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________例6定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x)=_____h(x)=______三、穿脱法解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、
4、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。例7已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x),求当x<0时，f(x)的解析式。17例8已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1]上表达式为f(x)=－x＋1，则在[2k+1,2k+3],k∈Z上的表达式为_________四、图象法即借助图形或图像的直观性，数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会.例9若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，
5、最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况例10已知y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象,如图所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)的解析式是____________例11已知f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)为减函数，且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________五、其他有少部分抽象函数的问题，它们必须灵活运用题中的条件，在特定的环境下，运用学过的知识和性质来寻找问题的解决。例12若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,
6、3)和B(3,－1)，则不等式
7、f(x+1)－1
8、<2的解为___________例13设f(x)函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a,b∈R，都有f(ab)=af(b)+bf(a)，（1)求f(0)、f(1)的值（2)若Tn=f(2n)，且Tn>0，求证Tn+1>Tn(n∈N)以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。希望通过上面的举例,能让同学们理解掌握这类问题的常用求法,并能达到举一反三,触类旁通的效果。典例分析抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考
9、试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。17所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数
10、是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举
