（广东专用）2013高考数学总复习 第二章第十节 课时跟踪训练 理.doc

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1、课时知能训练一、选择题1．(2012·中山模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)A．f(x)　　　B．－f(x)　　　C．g(x)　　　D．－g(x)【解析】　观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，…由归纳推理知偶函数的导函数为奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，又f′(x)＝g(x)，∴g(x)为奇函数

2、，g(－x)＝－g(x)．【答案】　D2．(2011·重庆高考)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x【解析】　∵y′＝(－x3＋3x2)′＝－3x2＋6x∴k＝y′

3、x＝1＝－3＋6＝3，因此在点(1,2)处的切线为y＝3x－1.【答案】　A3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)A．e2B．eC.D．ln2【解析】　∵f(x)＝x·lnx，∴f′(x)＝lnx＋1，则f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴

4、lnx0＝1，x0＝e.【答案】　B4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)A．4B．－C．2D．－【解析】　∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2＝4.故y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.【答案】　A5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围

5、是(　　)A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)3【解析】　y′＝()′＝＝，∵ex＋e－x≥2，∴y′≥＝－1，由导数的几何意义，tanα≥－1，且y′＜0，即tanα∈[－1,0)，又倾斜角α∈[0，π)，∴≤α＜π.【答案】　D二、填空题6．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．【解析】　∵y′＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋x·ex＋2∴y′

6、x＝0＝3.∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】　3x－y＋1＝07．已知函数f(x)＝f′(

7、)sinx＋cosx，则f()＝________.【解析】　f′(x)＝f′()cosx－sinx，令x＝，则f′()＝－sin＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，∴f()＝－sin＋cos＝0.【答案】　08．(2012·扬州模拟)若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．【解析】　因为f(x)＝－eax，所以f′(x)＝－eax.所以切线在x＝0处的斜率k＝f′(x)

8、x＝0＝－，所以x＝0处的切线l的方程为y－

9、(－)＝－x，即ax＋by＋1＝0.又l与圆C：x2＋y2＝1相离，所以＞1，即a2＋b2＜1.所以点P(a，b)在圆C内．【答案】　点P(a，b)在圆C内三、解答题9．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，试求实数a的取值范围．【解】　由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，3又f(x)存在垂直于y轴的切线，不妨设切点为P(x0，y0)，其中x0＞0.则f′(x0)＝2ax0＋＝0.∴a＝－，x0∈(0，＋∞)，因此a＜0.∴实数a的取值范围是(－∞，0)．10．设有抛物线C：y

10、＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程．【解】　设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①y1＝－x＋x1－4，②①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.故所求切线方程为y＝x.11．已知函数f(x)＝x2＋blnx和g(x)＝的图象在x＝4处的切线互相平行．(1)求b的值；(2)求f(x)的极值．【解】　(1)对两个

11、函数分别求导，得f′(x)＝2x＋，g′(x)＝＝.依题意，有f′(4)＝g′(4)，∴8＋＝6，∴b＝－8.(2)显然f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知b＝－8，∴f′(x)＝2x－＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去)．∴当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.∴f(x)在(0,2)上是单调递减函数，在(2，＋∞)上是单调递增函数．∴f(x)在x＝2时取得极小值f(2)