三角形的“四心”.doc

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1、三角形的“四心”重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。重心的几条性质：　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。　　3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、三角形内到三边距离之积最大的点。外心设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与

2、斜边中点重合.　　3、GA=GB=GC=R.　　4、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).内心设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．　　3、r=S/p．　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5、∠BIC=90°+A/2．垂心三角形三条边上的高交于一点，该点叫做三角形的垂心。　设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其

3、中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，　　1、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；　　2、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。　　3、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。　　4、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　　5、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。　　6、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形

4、的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。