高中数学 3.2.1 对数及其运算同步课件 新人教B版必修1.ppt

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1、3．2.1对数及其运算1．写出下列幂的运算性质并用文字语言叙述出来1am·an＝a＞0，m，n∈Q，即．2amn＝a＞0，m，n∈Q，即，．3abn＝a＞0，b＞0，n∈Q，即．2．若a＞0且a≠1，则a0＝；a1＝.．am＋n同底数的幂相乘，底数不变，指数相加幂的幂底数不变，指数相乘amnan·bn积的幂等于幂的积1a1．对数概念(1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即，那么b叫做，记作，其中a叫做，N叫做，读作．2对数性质①没有对数，即；②1的对数为

2、0，即；③底的对数等于1，即.以a为底N的对数3．若a＞1，则x＞0时，ax1，x＜0时，ax1；若0＜a＜1，则x＞0时，ax1，x＜0时，ax1.对任意x∈R，当a＞0且a≠1时，都有ax0.填不等号＞＜＜＞＞ab＝Nb＝logaN底数真数b等于以a为底N的对数0和负数N＞0loga1＝0logaa＝1(3)对数恒等式：.2．对数的运算性质alogaN＝N3.换底公式4．常用对数、自然对数1常用对数：叫作常用对数，N的常用对数log10N简记为.2自然对数：称自然对数，N的自然对数logeN简记作

3、，其中，e是一个重要常数，是无理数，它的近似值为2.71828.科学技术中常常使用自然对数．以10为底的对数lgN以e为底的对数lnN若M、N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？【提示】不一定，当M＞0，N＞0时成立；当M＜0，N＜0时不成立．将下列指数式写成对数式：(1)210＝1024；(2)10－3＝(3)0.33＝0.027；(4)e0＝1.【思路点拨】利用对数的定义进行变形．【解析】(1)∵210＝1024，∴10＝log21024.(2)∵10－3＝，∴－3＝log10

4、＝lg.(3)∵0.33＝0.027，∴3＝log0.30.027.(4)∵e0＝1，∴0＝loge1＝ln1.logaN＝b与ab＝Na＞0且a≠1，N＞0是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．1.求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1.【解析】(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3lgx＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.化简求值：【思路点拨】利用对

5、数的运算性质进行化简计算．(2)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．另外，对于涉及lg2与lg5的运算，要灵活运用lg2＋lg5＝1来求解．2.求下列各式的值：(1)5log53＋1【解析】(1)原式＝51·5log53＝5×3＝15.计算：log

6、2125＋log425＋log85log52＋log254＋log1258．【思路点拨】先用换底公式化为同底数对数，再进行化简求值．【解析】解法一：解法一是先将括号内换底，然后再将底统一；解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数当然也可以换成其他非1的正数为底，然后再化简，上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．3.若lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg.设a、b、c都是正数，且3a＝4b＝6c，【思路点拨】设3a＝4b＝6c＝k，两边取对数后，表示出a，

7、b，c，再代入证明．【解析】解法一：设3a＝4b＝6c＝k(a，b，c均为正数，k＞0)，解法二：对3a＝4b＝6c同时取以10为底的对数，得lg3a＝lg4b＝lg6c，∴alg3＝blg4＝clg6.(1)指数与对数互化是证明本题的关键．(2)换底公式的主要作用是统一底数，进而才能运用运算性质，本题用到换底公式的特殊情况：logab＝.4.已知a、b、x为正数，且lg(bx)·lg(ax)＋1＝0.求的取值范围．【解析】因为lg(bx)·lg(ax)＋1＝0，所以(lgb＋lgx)(lgx＋lga)＋1＝0.

8、所以(lgx)2＋(lga＋lgb)lgx＋lga·lgb＋1＝0.因为x＞0，所以关于lgx的方程有实根．所以(lga＋lgb)2－4(lgalgb＋1)≥0所以(lga－lgb)2≥4.所以lga－lgb≥2或lga－lgb≤－2.所以≥100或0＜≤.1．准确认识指数式与对数式的关系(1)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求x，