2013高考数学平面向量平面向量的应用

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1、第26讲　平面向量的应用【2013年高考会这样考】1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．一知识梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a

2、∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝

3、F

4、

5、s

6、cosθ(θ为F与s的夹角)．3、方法归类一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的

7、主要手段是向量的坐标运算．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．双基自测1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．无法确定解析　由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－]·(－)＝0，所以(＋)·(－)

8、＝0.所以

9、

10、2－

11、

12、2＝0，∴

13、

14、＝

15、

16、，故△ABC是等腰三角形．答案　C2．(2012·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则

17、2a－b

18、的最大值，最小值分别是(　　)．A．4,0B．16,0C．2,0D．16,4解析　设a与b夹角为θ，∵

19、2a－b

20、2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4

21、a

22、

23、b

24、cosθ＝8－8cosθ，∵θ∈[0，π]，∴cosθ∈[－1,1]，∴8－8cosθ∈[0,16]，即

25、2a－b

26、2∈[0,16]，∴

27、2a－b

28、∈[0,4]．答案　A3、在△ABC中，已

29、知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　　)．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形解析　由·＝0知△ABC为等腰三角形，AB＝AC.由·＝知，〈，〉＝60°，所以△ABC为等边三角形，故选A.答案　A　4、平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.[审题视点]由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S＝absinθ，求面积．解析　∵cos∠BOA＝，则sin∠BOA＝，∴S△

30、OAB＝

31、a

32、

33、b

34、＝.答案　C平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用

35、a

36、可以求线段的长度，利用cosθ＝(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．考向一　平面向量在平面几何中的应用【训练1】设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，

37、a

38、＝

39、c

40、，则

41、b·c

42、的值一定等于(　　)．A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两

43、边的三角形的面积解析　∵

44、b·c

45、＝

46、b

47、

48、c

49、

50、cosθ

51、，如图，∵a⊥c，∴

52、b

53、

54、cosθ

55、就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而

56、a

57、＝

58、c

59、，∴

60、b·c

61、＝

62、a

63、(

64、b

65、

66、cosθ

67、)，∴

68、b·c

69、表示以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案　A考向二　平面向量与三角函数的交汇【例2】►已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(1)若

70、

71、＝

72、

73、，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值．[审题视点]首先求出向量、的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角α的三

74、角方程进行求解；第(2)问利用向量与数量积的坐标运算化简已知条件，得到角α的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系．解　(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴2＝(cosa－3)2＋sin2α＝10－6cosα，2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由

75、

76、＝

77、

78、，可得2＝2，即10－6cosα＝10－6sinα，