积分上限函数.pdf

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1、专题讨论积分上限函数一、积分上限函数的定义和性质1.积分上限函数的定义x设f()x在[,ab]上连续，则对任意的x∈[,]ab，称函数∫f()tdt为积分上限函数。a2.积分上限函数的性质dxx∫f()tdtfx=()，即积分上限函数∫f()tdt是被积函数f()x的一个原函数。dxaa二、含有积分上限函数的题型1.求含有积分上限函数的极限例1．求下列极限2xx22∫sintdt∫arctantdt00（1）lim（2）limx→0ln(1+−x3)(1cos)xx→+∞1+x2222xxx222∫∫sint

2、dtsintdt∫sintdt000解：（1）lim==lim2lim362xx→→00ln(1+−xxsin)(1cos)x3xx→0xxxsini222sin(xx)2i2==2lim5x→063xx2∫arctantdt2220arctanx⎛⎞ππ（2）lim==lim⎜⎟=xx→+∞1+x2→+∞x⎝⎠41621+x2.求积分上限函数的导数2x例2．（1）设f()x连续，求Fx()=−∫(xtftdt)()的导数Fx′()；0x（2）设22f()x连续，求F()xt=−∫f(xt)dt的导数Fx′(

3、)；02dx2（3）求sin()xtdt，其中x≠0。dx2∫02222xxxx解：（1）因为Fx()=−∫∫00(xtftdt)()=[()xfttftdtx−=()]∫0ftdt()−∫0tftdt()，22xx所以22222Fx′()=+−=∫∫f()tdtxf()2xxxiif()22(xxxx1)()−+fxf()tdt0022xx2211222tu=x2（2）因为Fx()()=−∫∫tfxtdt=−fxtd()t∫fxud()−u0022022xut−=110xf()(td−=t)ftd()tux

4、t=−222∫∫x20⎡⎤11x2′22所以Fx′()==⎢⎥∫ftdt()fx()2ixxfx=()。⎣⎦22022xxx22xt=u112（3）因为∫∫∫sin()xtdtsinudui=sinudu，则000uxxt=x22ddxxx222⎡⎤11122sin()xtdt==sinudu−sinudu+iisin(x)2xdx∫∫∫000dxx⎢⎥x2x⎣⎦21x24=−sinudu+2sinx，x2∫022ddxx22⎡⎤14从而sin()xtdt=−sinudu+2sinxdx22∫∫00dx⎢⎥x

5、⎣⎦2221xx2443242234=−sinudusinxxii2+2cosxx4=−sinudusinx+8xcosxx32∫∫00xx3x3．积分上限函数的相关证明x例3.（1）设f()x是连续的奇函数，证明∫f()tdt是偶函数。0x（2）设f()x是连续的偶函数，证明∫f()tdt是奇函数。0aT+T（3）设f()x是以T为周期的连续函数，证明∫∫f()xdtx=fxdx()（其中为任意常数），aa0nTT从而∫∫f()xdtxn=fxdx()（其中为正整数）。n00x−x证明：令F()xf=∫()

6、tdt，则F()−=xf∫()tdt；00−xxtu=−x因为F()−=xf∫∫∫()tdtf()−−=−u()duf()−udu000（1）当f()x是连续的奇函数时，则f()uf=−−()u，从而−xxxxF()−=x∫∫∫∫ftdt()=−fudu()−=fudu()=ftdtFx()=()，0000x所以F()xf=∫()tdt是偶函数。0dxx注：因为∫f()tdtfx=()，所以∫∫f()xdx=ftdtC()+（其中C为任意常数），即当dx00xxf()x是连续的奇函数时，∫f()tdt是偶函数

7、，从而∫f()tdt+C是偶函数，也即00x∫∫f()xdx=ftdtC()+为偶函数，所以连续的奇函数的所有原函数都是偶函数。0（2）当f()x是连续的偶函数时，则f()ufu=()−，从而−xxxxF()−=xf∫∫∫∫()tdtf=−()−uduf=−()uduf=−()tdt=−F()x，0000x所以F()xf=∫()tdt是奇函数。0dxx注：因为∫f()tdtfx=()，所以∫∫f()xdx=ftdtC()+（其中C为任意常数），即当f()xdx00xx是连续的偶函数时，∫f()tdt是奇函数，

8、但是∫f()tdtC+不一定是偶函数，也即00x∫∫f()xdx=ftdtC()+不一定是偶函数，所以连续的偶函数的所有原函数不一定0是奇函数（只有不含常数的原函数才是奇函数）。aT++0TaT（3）因为∫∫∫∫f()xdx=++fxdx()fxdx()fxdx()，aa0TaT+xTu−=a而∫∫f()xdxfuTdu(+)，T0由f()x是以T为周期的连续函数，得f()(xkTfx+=)（其中为