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1、湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）目录1、前言...............................................................................................2[1]2、范德蒙行列式的计算方法...........................................................2[2]4、范德蒙行列式的推广.......................................................
2、...........55、范德蒙行列式的应用.....................................................................8[3]5.1在多项式理论中的应用........................................................8[4]5.2在行列式计算中的应用........................................................95.3在向量空间理论应用..........................
3、..................................145.4在微积分中的应用................................................................18参考文献：........................................................................................21-1-湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）范德蒙行列式的性质及应用张鹏（指导老师：余红宴）（文理学院数学系0807
4、班湖北黄石435002）1、前言形如111...1aaa...a123n2222aaa...a123n............n−1n−1n−1n−1aaa...a123n的行列式称为Vandermonde行列式，记为Vaa(,,...,a).Vandermonde行列式n12n是高等代数的一个重要内容。其特点是每一列为某一个数的不同方幂，且从上到下幂指数由零递增至n−1.范德蒙行列式的计算在行列式的计算中占有特殊的地位，在数学的各个领域都有很广泛的应用[1]2、范德蒙行列式的计算方法定理1111...1aaa...a123n2222D=aaa..
5、.a=∏(a−a)(n≥2)n123nji1≤<≤ijn............n−1n−1n−1n−1aaa...a123n证明:对n用归纳法.11当n=2时,Vaa(,)==a−a,结论成立.21221aa12假设对n−1结论也成立,即V(,aa,...,a)=(a−a)...(a−a)(a−a)...(a−a)(a−a)(a−a)n−112n−1nn−1n−12n−11323121-2-湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）作辅助行列式11...11aa...ax12n−12222fx()=aa...ax(1)12n−1
6、............n−1n−1n−1n−1aa...ax12n−1不难看出,fx()是一个(n−1)次多项式,并且它有n−1个根:a,a,…,12n−1a,因此fx()=kxa(−)(xa−)...(xa−),其中k为特定常数.由于k为xn−112n−1n−1的系数,而由(1)式可t知x的系数为V(,aa,...,a),所以n−112n−1fx()=V(,aa,...,a)(xa−)(xa−)...(xa−)n−112n−112n又Vaa(,,...,a)=fa()n12n−1n∴Vaa(,,...,a)=V(,aa,...,a)(a−a)(
7、a−a)...(a−a)=(a−a)(n≥2)n12n−1n−112n−1n1n2nn−1∏ji1≤<≤ijn[12]证法2将D看作系数与aa,,⋯a有关，未知量是a的一元多项式。则n12n−1n当a=ai(=1,2,⋯n−1)时，D=0，所以aa,,⋯a是D的根，所以nin12n−1na−aDi=1,2,⋯n−1nin又因为当i≠j时，(a−aa,−a)1=所以设ninj(a−a)(a−a)⋯(a−a)Dn1n2nn−1n设D=gaa(,,⋯a)(a−a)(a−a)⋯(a−a)(2)n12nn1n2nn−1另一方面，如果将按最后一列展开可知道，是
8、的次多项式，且项的系数-3-湖北师范学院文理学院2012届数学与应用专业毕业论文（设计）111...1aaa...a123
