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1、2003年4月 晋东南师范专科学校学报Apr.,2003第20卷 第2期 JournalofJindongnanTeachersCollegeVol.20.NO.2利用范德蒙德行列式的结论计算行列式张文丽(晋东南师专数学系,山西长治 046011) 摘 要:文章借助于行列式的运算、性质、拉普拉斯定理等,给出了利用范德蒙德行列式的结果来计算行列式的几个例子。关键词:拉普拉斯定理;范德蒙德行列式;行列式的性质。中图分类号:O151122 文献标识码:A 文章编号:1009-026
2、6(2003)02-0052-02范德蒙德行列式的标准规范形式是:n!(2-1)(3-1)...(n-1)(3-2)...(n-2)...[n-11 ⋯ 1(n-1)]x1x2 ⋯ xn=n!(n-1)!(n-2)!⋯2!1!222an(a-1) ⋯ (a-n)nDn=x1x2 ⋯ xn=∏(xi-xj)n≥i>j≥ln-1n-1n-1⋯ ⋯ ⋯ ⋯a(a-1) ⋯ (a-n)xn-1n-1n-1例2 计算Dn+1=⋯ ⋯ ⋯ ⋯1x2 ⋯ xn根据范德蒙德行列式的特点,将所给行列式
3、化为范德aa-1 ⋯ a-n蒙德行列式,然后利用其结果计算.11 ⋯ 1解:本项中行列式的排列规律与范德蒙德行列式的排常见的化法有以下几种:1.所给行列式各列(或各行)都是某元素的不同次幂,列规律正好相反,为使Dn+1中各列元素的方幂次数自上而下递升排列,将第n+1行依次与上行交换直至第1行,第n但其幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同,需利用行依次与上行交换直至第2行⋯⋯第2行依次与上行交换行列式性质(如提取公因式,调换各行(或各列)的次序,拆直至第n行,于是共经过n+(n-1)+(n-2)+⋯⋯
4、+2+1项等)将行列式化为范德蒙德行列式.n(n+1)例1 计算=次行的交换得到n+1阶范德蒙德行列式:211 ⋯ 111 ⋯ 12n22 ⋯ 2aa-1 ⋯ a-nDn=2nn(n+1)33 ⋯ 3Dn+1=(-1)2⋯ ⋯ ⋯ ⋯nn2 ⋯ nnn-1n-1n-1a(a-1) ⋯ (a-n)解:Dn中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺nna(a-1) ⋯ (a-n)序排列,但不是从0变到n-1,而是由1递升至n,如提取各n(n+1)=(-1)2(a-1a)行的公因数则方幂次数便从
5、0变到n-1(a-2-a)⋯(a-n-a)[a-2-(a-1)]⋯[a-n-(a-111⋯ 1n2n-1(a-1))]=∏K!122⋯ 2k=1Dn=n!1332⋯ 3n-1=若Dn的第i行(列)由两个分行(列)所组成,其中任意⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯相邻两行(列)均含相同分行(列);且Dn中含有由n个分行1nn2⋯ nn-1(列)组成的范德蒙德行列式,那么将Dn的第i行(列)乘以收稿日期:2002—12—25作者简介:张文丽(1971— ),女,山西晋城人,助教,主要从事高等代数教学研究。·52·张文丽 利用范德蒙德行
6、列式的结论计算行列式-1加到第(i+1)行(列),消除一些分行(列),即可化成范3.拉普拉斯展开法:德蒙德行列式:运用公式
7、D
8、=M1A1+M2A2+⋯+MtAt来计算行列式例3.的值:D=n-110x10 ⋯ x101111010yn-11 ⋯ 0y11+sinφ11+sinφ21+sinφ31+sinφ4n-110x20 ⋯ x202222sinφ1+sinφ1sinφ2+sinφ2sinφ3+sinφ3sinφ4+sinφ4n-1例 计算D=010y2 ⋯ 0y223232323sinφ1+sinφ1sinφ
9、2+sinφsinφ3+sinφ3sinφ+sinφ4⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯解:将D的第1行乘以-1加到第2行得:n-110xn0 ⋯ xn01111n-1010yn ⋯ 0yn1+sinφ11+sinφ21+sinφ31+sinφ4解:取第1、3、...2n-1行,第1、3、...2n-1列展开得:2222sinφ1+sinφ1sinφ2+sinφ2sinφ3+sinφ3sinφ4+sinφ41x1 ⋯ x1n-11y1 ⋯ y1n-123232323sinφ1+sinφ1sinφ2+sinφsinφ3+sin
10、φ3sinφ+sinφ41x2 ⋯ x2n-11y2 ⋯ y2n-1D=再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行,再在新行列⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯式中的第3行乘以-1加到第4行得:n-1n-11xn ⋯ xn1yn ⋯ yn1111=∏(xj-xi)(yj-yi)n≥j>i≥lsinφ1sinφ2sinφ3sinφ44.乘积变换法:D=2222sinφ1s
