关于范德蒙德行列式的性质探讨

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1、山东师范大学范德蒙德行列式的应用探讨李珊珊摘要：范德蒙德行列式作为一种重要的、著名的行列式性质独特、形式优美，利用范德蒙德行列式能大大降低我们解题时的难度，起到事半功倍的效果.本文将介绍范德蒙德行列式的概念及其性质，并且给出范德蒙德行列式在行列式计算，向量空间理论，线性变换理论，多项式理论和微积分问题五个方面较全面的具体应用，并对方法和技巧做出概括和总结.关键词：范德蒙德行列式；向量空间；线性变换；多项式；微积分中图分类号：O13DiscussiononTheApplicationofVandermondeD

2、eterminantLiShan-shanAbstract:ThedeterminantisanimportanttoolinMathematics.Itisthebasisofthefollow-uptothecontentsystem,suchaslinearequations,matrix,vectorspacesandlineartransformations.Andithasawiderangeofapplications.Asanimportantandfamousdeterminant,Vand

3、ermondedeterminanthasnotonlyuniquestructure,butalsoexquisiteform.UsingVandermondedeterminantcangreatlyreduceourcomputationonsolvingproblems.ThatisalsotheessenceofusingVandermondedeterminant.ThisarticlewillintroducetheconceptofVandermondedeterminantanditscal

4、culationmethodandproperties.What'smore,thisarticlewillsummarizeVandermondedeterminantindeterminantcomputation,vectorspace,lineartransformationtheory,theoryofpolynomialandsolvingtheproblemsofcalculusinspecificapplications.Andthearticleinthemethodsandtechniqu

5、esofVandermondedeterminantwillmakeasummary.Keywords:Vandermondedeterminant;vectorspace;lineartransformation;polynomial;Calculus21山东师范大学1.引言行列式在高等代数中是一个重要的数学工具，活跃在数学的各个分支.行列式最早出现在16世纪关于求解线性方程组的问题中.它的研究是伴随着线性代数的发展而发展起来的.18世纪，法国著名的数学家范德蒙德（A.T.Vandermonde,1735-

6、1796）将行列式的理论脱离线性方程组，而放到理论高度作为专门的理论进行研究，并在此基础上确立了行列式的一些性质，使行列式逐步成为一门独立的数学研究课题.范德蒙德行列式是范德蒙德在1772年提出的一种著名的行列式，具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值.利用范德蒙德行列式和它的一些性质，我们可以使计算变得更为简单、直接，从而大大的提高对高等代数和数学分析中问题的计算速度.自上世纪50年代以来，数学工作者对范德蒙德行列式的计算方法和在一些应用方面进行了研究.不同研究者的角度、出发点和研究方向均不相同.例如：北京

7、大学第三版《高等代数》教材（高等教育出版社，王萼芳石生明修订）中就提到了范德蒙德行列式在行列式计算和多项式根的存在性问题中的应用.在一些高校的学报中我们也可以找到许多范德蒙德行列式的应用.如：徐杰在《范德蒙德行列式的应用》（职校论坛，2009）中探讨了应用范德蒙德行列式证明向量的线性相关性问题；张文治、赵艳在《范德蒙德行列式应用三则》（北华航天工业学院学报，2007）中给出了构造范德蒙德行列式计算缺项行列式；程伟健、贺冬冬在《范德蒙德行列式在微积分中的应用》（大学数学，2004）中研究了利用范德蒙德行列式求高

8、阶无穷小和证明K阶导数极限存在问题等等.综上所述，虽然国内外对范德蒙德行列式的应用研究比较多，但是对应用方法技巧的总结、归纳还比较欠缺和零散，系统性、规范性不足.针对这种情况，本文较为系统的探讨范德蒙德行列式的应用，并对方法和技巧做出了总结.2.范德蒙德行列式的概念及其性质定义形如的行列式，称为阶范德蒙德（Vandermonde）行列式，记为.范德蒙德行列式构造独特、形式优美，并且有独特的性质.下面