2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性（一）学案 北师大版必修1.doc

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1、§3　函数的单调性(一)学习目标　1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(重、难点)．预习教材P36－39完成下列问题：知识点一　增函数与减函数的定义1．增函数定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1

2、，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．图示：如图所示．【预习评价】1．已知(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，且x1，x2∈(a，b)，若x1f(x2)D．以上都正确解析　根据函数单调性的定义可得正确答案．答案　A2．函数y＝f(x)的图像如图，根据图像函数y＝f(x)的增区间为________，________；减区间为________，________．解析　由图像可知函数y＝f(

3、x)的增区间为[－1,0)，[1,2]，减区间为[－2，－1)，[0,1)．答案　[－1,0)　[1,2]　[－2，－1)　[0,1)知识点二　函数的单调区间与单调性(1)如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．(2)定义：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．【预习评价】1．若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成D1∪D2吗？提示　单调区间不能取并集，

4、如y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．2．任何函数在定义域上都具有单调性吗？提示　函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质．有的函数不具有单调性，例如：函数y＝再如：函数y＝x＋1(x∈Z)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性．题型一　确定(求)函数的单调区间【例1】　(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图像，则函数的单调递减区间是________、____________，在区间________、_____

5、___上是增函数．(2)函数y＝的单调递减区间是________．解析　(1)观察图像可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．(2)y＝的图像可由函数y＝的图像向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案　(1)[－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3](2)(－∞，1)，(1，＋∞)【例2】　画出函数y＝－x2＋2

6、x

7、＋1的图像并写出函数的单调区间．解　y＝即y＝函数的大致图像如图所示，单调

8、增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法　1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确．2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．【训练1】　作出函数f(x)＝的图像，并指出函数的单调区间．解　f(x)＝的图像如图所示．由图像可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为[2，＋∞)．题型二　函数单调性的判定与证明【例3】　求证：函数f(x)＝x＋

9、在(0,1)上是减函数．证明　设任意的x1，x2∈(0,1)，且x10，x2－x1>0，所以<0，所以f(x2)