2018版高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性学案 新人教B版必修1.doc

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1、2．1.3　函数的单调性1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点)2．掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点)3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点)[基础·初探]教材整理　增函数与减函数的定义阅读教材P44～P45“例1”以上部分，完成下列问题．1．增函数与减函数的定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如图216(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时

2、，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图216(2)．(1)　　　　　(2)图2162．函数的单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f(x)＝，因为f(－1)

3、增函数．(　　)【解析】　(1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”．(3)×.反例：f(x)＝【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】　(－∞，1)[小组合作型]求函数的单调区间　求下列函数的单调区间，并指

4、出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝(3)f(x)＝－x2＋2

5、x

6、＋3.【精彩点拨】　(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．【自主解答】　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是

7、增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2

8、x

9、＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[再练一题]

10、1．函数f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________.【导学号：】【解析】　因为函数f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f(x)的单调减区间为(a，＋∞)．【答案】　(a，＋∞)函数单调性的判定与证明　(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．f(x)＝3－xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝D．f(x)＝x2＋2x(2)用定义法证明函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数．【精彩点拨】　(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．(2)利用函数单调性的定义，取值，作差

11、，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】　(1)A.f(x)＝3－x在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】　D(2)设x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1

12、)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以，函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数