2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第43讲 空间向量及其运算学案.doc

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1、第43讲　空间向量及其运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式.2017·全国卷Ⅲ，162016·山东卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：3分1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为__0__的向量0单位向量长度(模)为__1__的向量相等向量方向__相同__且模__相等__的向量a＝b相反向量方向__相反__且模__相等__的向量a的相反向量为－a表示空间向量的有向线段所在的直线互相__a∥b共线向量平行或重合

2、__的向量共面向量平行于同一个__平面__的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得__b＝λa__.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta.①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝__(1－t)＋t__.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝__xa＋yb__，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间向量任意一点O，有＝__＋x＋y__或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间

3、三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝__λ1e1＋λ2e2＋λ3e3__，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则__

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉__叫做向量a，b的数量积，记作__a·b__，

8、即a·b＝__

9、a

10、

11、b

12、cos〈a，b〉__.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)__；②交换律：a·b＝__b·a__；③分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb(b≠0，b∈R)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模

13、a

14、____夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝1．思

15、维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　×　)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　×　)(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角(　×　)2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　)A．－a＋b＋c　　　　B．a＋b＋cC．－a－b＋c　　　　D．a－b＋c解析＝＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.3．与向量(－3，－4,5)

16、共线的单位向量是(　A　)A．和B．C．D．或解析因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，故选A．4．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__a＋b＋c__(用a，b，c表示)．解析＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c.5．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若

17、a

18、＝6，且a⊥b，则x＋y的值为__1或－3__.解析∵

19、a

20、＝＝6，即x＝±4，又∵a⊥b，即a·b＝0，即4＋4y＋2x＝0，即

21、或故x＋y＝1或x＋y＝－3.一　空间向量的线性运算用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．【例1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量．(1)；(2)；(3)＋.解析(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝